Question

Помогите решить задачу
В треугольнике АBC через центр тяжести М проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма расстояний от точек А и С до этой прямой равна расстоянию от точки В до этой прямой.

Answer 1

Пусть M – точка пересечения медиан AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC , X – произвольная точка. Тогда    

 XA2+XB2+XC2 = 2+2+2=

=2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (++)=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (-· -·  -· )=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· 2· · (++)=

=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· · = 3· XM2+MA2+MB2+MC2  MA2+MB2+MC2,
причём равенство достигается, если точка X совпадает с точкой M пересечения медиан треугольника ABC .