Question

Помогите решить задачу 14, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уравнение прямой

$\left \{ {{2x-2y+z-3=0} \atop {2x+y-2z+3=0}} \right.$

точка М((3;-1;4)

найті точку М'

сначала решим систему и найдем уравнение нужной нам прямой

два уравнения три переменных

положим z = 0

2x+y-3=0  ⇒  y = -2x-3  подставим во второе

2x -2y -3 =0 ⇒ 2x-2(-2x-3) -3 = 0  ⇒ x = -0.5 ⇒y = -2

мы получили точку М₀(x₀; y₀;z₀) = M(0.5; -2; 0) это первая точка нужной прямой.

теперь положим z = 1

2x+y-2+3=0  ⇒ y = -2x-1  подставим во второе

2x-2y +1-3=0  ⇒2x-2(-2x-1)-2 = 0  ⇒  x = 0

получили вторую точку Р₁(x₁; y₁; z₁) = P(0; -1; 1)

уравнение прямой, проходящей через две точки

$\frac{x-x_0}{x_1-x_0} =\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}$

$\frac{x+0.5}{0.5} =\frac{y+2}{1} =\frac{z}{1}$   это нужная нам прямая L, относительно которой будем искать симметрию

найдем уравнение плоскости β ⊥прямой L и проходящую через точку  М

в качестве нормали β берем направляюший вектор прямой L (оні перпендікулярны, в смысле плоскость і прямая)

$n_\beta =s_L=(0.5;1;1)$

тогда уравнение плоскости β ⊥ L и через точку М

0,5(x-3)+y+ 1(y+1) + 1(z-4)=0

0.5x +y +x -4.5 = 0

найдем точку пересечния плоскости и прямой

из уравнения прямой сделаем параметрическое уравнение

x+0.5 = 0.5t ⇒  x=0.5t -0.5=0.5(t-1)

y+2 = t ⇒ y = t -2

z=t

это подставляем в уравнение плоскости β

0,5*0,5(t-1)+t - 2 +t - 4,5 =0 ⇒ t=3

и вот мы нашли точку пересечения плоскости β  и прямой L

эта точка с координатами

x = 0.5(t-1) = 0.5*2 = 1

y = t-2 = 1

z = t = 3

точка М₀(x₀; y₀;z₀) = M₀(1; 1; 3)

и вот мы уже почти у цели, потому, что тчка М₀ это середина отрезка ММ', где М(3; -1; 4) заданная точка, а M'(x'; y'; z') это наша искомая точка.

и ее кординаты

$x_{M'}= 2x_{M_0} -x_M = 1*2-3=-1\\y_{M'}= 2y_{M_0} -y_M = 1*2-(-1)=3\\z_{M'}= 2z_{M_0} -z_M = 3*2-4=2$

M'(-1; 3; 2)    это ответ