Question

Помогите решить! Задача для школьников, то есть метод математической индукции нужно как-то обойти.

Answer 1

Ответ:

2·3 + 3·4 + ... + 98·99 = 323398

Объяснение:

Заметим что

$2\cdot 3 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 \ldots + 98 \cdot 99 =\\\\ 6 + 12 + 30 + \ldots + 98 \cdot 99 = \\\\ 3^2 - 3 + 4^2 - 4 + 5^2 - 5 + \ldots + 99^2 -99 = \\\\ (3^2 + 4^2 + \dots + 99^2 ) - ( 3 + 4 + \ldots + 99)$

Выходит арифметическая  прогреcсия ,  а также сумма квадратов  чисел от 3 до 99

Для арифметической прогрессии все просто

$S_{ap} =\dfrac{99 +3}{2} \cdot 97 = 51 \cdot 97 = 4974$

А    сумму квадратов  чисел от 3 до 99 , найдем с помощью формулы

$S_{KB} = \dfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

( n  - количество чисел  от 1² + 2² ...  + n²)

$S_{99} = \dfrac{99 \cdot (99+1)\cdot (99\cdot 2 +1)}{6 } = \dfrac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 1650 \cdot 199 = \\\\ = 200 \cdot 1650 - 1650 = 330000 - 1650 =328350$

Но наш ряд начинается с тройки , поэтому нужно отнять 1² + 2² = 5

$S_{KB} = 328350 - 5 = 328345$

Теперь находим

$(3^2 + 4^2 + \dots + 99^2 ) - ( 3 + 4 + \ldots + 99) = \\\\S_{KB} - S_{ap} = 328345-4947 = 323398$

#SPJ1