Question

помогите решить уравнение пж

Answer 1

Ответ:

• Задание 2: n ∈ {2, 4, 9}
• Задание 3: x = 11

Объяснение:

• $C^{k} _{n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - формула сочетаний
• $A^{k}_{n} =\frac{n!}{(n-k)!}$ - формула размещений
• n ≥ 0, k ≥ 0

Задание 2

$C^{3}_{n}=4C^{2}_{n-2}$

$\frac{n!}{3!(n-3)!} =4*\frac{(n-2)!}{2!(n-4)!}$

$\frac{n!}{6(n-3)!} =4*\frac{(n-2)!}{2(n-4)!}$

В левой части:

• n! = 1*2*...*(n-3)*(n-2)*(n-1)*n
• (n-3)! = 1*2*...*(n-3)
• поэтому можно сократить n! и (n-3)! на (n-3)! (в числителе останется (n-2)*(n-1)*n)

В правой части:

• (n-2)! = 1*2*...*(n-4)*(n-3)*(n-2)
• (n-4)! = 1*2*...*(n-4)
• поэтому можно сократить (n-2)! и (n-4)! на (n-4)! (в числителе останется (n-3)*(n-2))
• кроме того, сократим 4 и 2 на 2

Поэтому,

   $\frac{(n-2)(n-1)n}{6} =\frac{2(n-3)(n-2)}{1}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции ($\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc$):

1*(n-2)(n-1)n = 6*2*(n-3)(n-2)

(n-2)(n-1)n = 12(n-3)(n-2)

Рассмотрим 2 случая:

• Случай 1: n = 2

0 = 0

• Случай 2: n ≠ 2

Тогда мы можем сократить на (n-2):

(n-1)n = 12(n-3)

$n^{2}$ - n = 12n - 36

$n^{2}$ - 13n + 36 = 0

• D = $b^{2}$ - 4ac
• D = 13*13 - 4*1*36 = 169 - 144 - 25
• $\sqrt{D}$ = 5

$n = \frac{-b -\sqrt{D} }{2a} = \frac{13 - 5}{2} =4$ или

$n=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{13+5}{2} =9$

Ответ: n ∈ {2, 4, 9}

Задание 3

$A^{2}_{x-1}-C^{1}_{x}=79$

$\frac{(x-1)!}{(x-3)!} -\frac{x!}{1!(x-1)!}=79$

Уменьшаемое:

• (x-1)! = 1*2*...*(x-3)*(x-2)*(x-1)
• (x-3)! = 1*2*...*(x-3)
• поэтому можно сократить (x-1)! и (x-3)! на (x-3)! (в числителе останется (x-2)*(x-1))

Вычитаемое:

• x! = 1*2*...*(x-1)*x
• (x-1)! = 1*2*...*(x-1)
• поэтому можно сократить x! и (x-1)! на (x-1)! (в числителе останется x)

Поэтому,

(x-2)(x-1) - x = 79

$x^{2}$ - x - 2x + 2 - x = 79

$x^{2}$ - 4x - 77 = 0

• D = $b^{2}$ - 4ac
• D = 4*4 + 4*1*77 = 16 + 308 = 324
• $\sqrt{D}$ = 18

$x = \frac{-b-\sqrt{D} }{2a} = \frac{4-18}{2} =-7$ или

$x=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{4+18}{2} =11$

Если взять x = -7, то n в формулах размещений и сочетаний получится отрицательным ⇒ это значение не подходит

Ответ: x = 11

#SPJ1