Question

Помогите решить систему уравнений

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}y\sin x=\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\\\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)=25y^2+6y+1\end{array}\right;\;\;\;\left|y\right|\le1$

Заметим, что при любом $x$ $4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}$ принимает значения от $4$ до $5$.

Тогда верно, что:

$4\left(6y^2+2y\right)\le\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)\le5\left(6y^2+2y\right)$

Из второй строки исходной системы следует:

$\left(6y^2+2y\right)\left(4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}\right)=25y^2+6y+1$

Тогда получим:

$4\left(6y^2+2y\right)\le25y^2+6y+1\le5\left(6y^2+2y\right)$

Решаем это двойное неравенство:

$y\in\left(-\infty;\;-1\right]\cup\left[\dfrac{1}{5};\;+\infty\right)$

По условию задачи $\left|y\right|\le1$, то есть $-1\le y\le 1$.

Тогда рассматриваем только следующие $y$:

$y\in\left\{-1\right\}\cup\left[\dfrac{1}{5};\;1\right]$

Рассмотрим сначала самый простой случай, когда $y=-1$.

Тогда исходная система примет вид:

$\left\{\begin{array}{c}-\sin x=\log_2\dfrac{\left|\sin x\right|}{2}\\4^{\sin^2x}+4^{\cos^2x}=5\end{array}\right;$

Решение обоих уравнений очевидно и потому опускается.

Отметим только, что в результате получатся пары чисел $\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\;-1\right),\;n\in\mathbb{Z}$, которые удовлетворяют исходной системе.

Рассмотрим теперь промежуток $y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right]$.

Обратимся к первой строке исходной системы:

$y\sin x=\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|$

Заметим, что так как $y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right]$ и $-1\le\sin x\le1$, то верна оценка $-1\le y\sin x\le 1$.

По первой строке системы можно сделать подстановку:

$-1\le\log_2\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\le1$

Уйдем от логарифма:

$\dfrac{1}{2}\le\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\le2$

Заметим, что при $y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right]$ верно $1+3y > y$, то есть $\dfrac{y}{1+3y}$ не превосходит единицы. Но и синус лежит в диапазоне от $-1$ до $1$.

То есть дробь $\dfrac{y\sin x}{1+3y}$ на условии задачи будет всегда меньше $2$.

Поэтому можно написать просто:

$\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|\ge\dfrac{1}{2}$

Умножаем обе части неравенства на $2$:

$\left|\dfrac{2y\sin x}{1+3y}\right|\ge1$

Дробь $\dfrac{2y}{1+3y}$ не превосходит единицы на условии задачи. Ситуация с синусом аналогичная. Тогда значение большее единицы мы гарантированно получить не можем.

Значит осталось проверить в ручную:

$\left|\dfrac{2y\sin x}{1+3y}\right|=1$

Что есть следующее:

$\left|\dfrac{y\sin x}{1+3y}\right|=\dfrac{1}{2}$

Это аргумент логарифма, тогда удобно обратиться к первой строке исходной системы:

$y\sin x=-1$

Поскольку $y\in\left[\dfrac{1}{5};\;1\right]$, то равенство теоретически возможно только, если окажется, что $y=1$ и  $\sin x=-1$.

Однако очевидно, что это не решения системы.

Поэтому при $\left|y\right|\le1$ исходная система уравнений имеет решения:

$\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\;-1\right),\;n\in\mathbb{Z}$

Система уравнений решена!