Question

Помогите решить.
Применяя указанные подстановки,вычислить следующие интегралы.

Answer 1

$x=2+z^3\ x-2=z^3\ d[x-2]=d[z^3]\ dx=3z^2dz\\ frac{(x-2)^{frac{2}{3}}}{(x-2)^{frac{2}{3}}+3}=frac{z^2}{z^2+3}\\ intlimits {frac{(x-2)^{frac{2}{3}}}{(x-2)^{frac{2}{3}}+3}} , dx = intlimits {frac{z^2}{z^2+3}} , 3z^2dz=\\ =3*intlimits {frac{z^4}{z^2+3}} , dz=3*intlimits {frac{z^4-9+9}{z^2+3}} , dz= 3*intlimits {(frac{z^4-9}{z^2+3}-frac{9}{z^2+3})} , dz=$

$=3*[intlimits {frac{(z^2-3)*(z^2+3)}{z^2+3}} , dz-9*intlimits {frac{1}{z^2+(sqrt{3})^2}} , dz]=\\ =3*[intlimits {(z^2-3)}} , dz-9*frac{1}{sqrt{3}}*arctg(frac{z}{sqrt{3}})]=\\ =3*(frac{z^3}{3}-3z-3{sqrt{3}}*arctg(frac{z}{sqrt{3}}))+C=\\ =3*[frac{(x-2)^2}{3}-3(x-2)^{frac{2}{3}}-3sqrt{3}*arctg(frac{(x-2)^{frac{2}{3}}}{sqrt{3}})]+C$

$intlimits^{29}_3 {frac{(x-2)^{frac{2}{3}}}{(x-2)^{frac{2}{3}}+3}} , dx=3*[frac{(x-2)^2}{3}-3(x-2)^{frac{2}{3}}-3sqrt{3}*arctg(frac{(x-2)^{frac{2}{3}}}{sqrt{3}})]|^{29}_3=\\ =3*[frac{27^2}{3}-3*9-3sqrt{3}*arctg(frac{9}{sqrt{3}})]-\-3*[frac{1}{3}-3*1-3sqrt{3}*arctg(frac{1}{sqrt{3}})]=\\ =3*[216-3sqrt{3}*arctg({3}{sqrt{3}})]-3*[frac{1}{3}-3*1-3sqrt{3}*frac{pi}{6}]=...$