Question

помогите решить пожалуйста

Answer 1

Поместим куб в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, рёбрами ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Определим координаты заданных точек.

B(0; 0; 0), D1(5; 5; 5). Вектор BD1 = (5; 5; 5).

K((10/3; 0; 5), M(0; (10/3); 5), N(5; (10/3); 0).

Находим уравнение плоскости KMN.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA           y – yA         z - zA

xB - xA        yB - yA            zB - zA

xC - xA        yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 10/3        y – 0          z – 5

0 – 10/3        10/3 – 0      5 – 5

5 – 10/3        10/3 – 0       0 - 5 = 0

x – 10/3        y – 0            z – 5

 -10/3            10/3                 0

   5/3             10/3                -5 = 0

(x – (10/3))*((10/3)·(-5)-0·(10/3)) – (y – 0)*((-10/3)·(-5)-0·(5/3)) + (z – 5)*((-10/3)·(10/3)-(10/3)·(5/3) = 0

(-50/3)*(x – (10/3)) + (-50/3)*(y – 0) + (-50/3)*(z – 5) = 0

(-50/3)x – (50/3)y – (50/3)z + (1250/9) = 0 умножим на (-3/10)

5x + 5y + 5z – (125/3) = 0.

Коэффициенты в общем уравнении плоскости - это координаты нормального, то есть перпендикулярного к плоскости, вектора.

Так как они совпадают с координатами вектора BD1, то это доказывает, что вектор BD1 перпендикулярен плоскости KMN.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d =   |5·0 + 5·0 + 5·0 + (-125/3)| /√(5² + 5² + 5²  =  

= |0 + 0 + 0 - 125/3| /√(25 + 25 + 25)  =

=   125/3 /√75  =   25√3 /9  ≈ 4.81125.

Ответ: d ≈ 4.81125.