Question

Помогите решить, пожалуйста:

 

1)    Найти вертикальные асимптоты х=а графика функции:
а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x-3)).
б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6)
В ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a
 2)Используя формулу Маклорена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го порядка, вычислите приближенно 9√1,4  (9-это степень корня)
3)Для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. Найдите точку локального экстремума
4) Для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. В ответе укажите сумму всевозможных значений а.
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6
б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3
 6) Найти производную функции:
а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке А(-3;4) в направлении вектора e=(1,3)
б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке А(-1,2) в направлении вектора е=(-2,-5)
 7)Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума.

Answer 1

Приступим к уроку мат. анализа

1)

a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

$f(x)=frac{x-9}{x-3}$

$lim_{x to 3-0} f(x)=+infty, lim_{x to 3+0} f(x)=-infty$

x=3 - вертикальная асимптота

$]lim_{x to 9-0} f(x)=-infty, lim_{x to 9+0} f(x)=+infty$

x=9 - вертикальная асимптота

Ответ: 12

 

б) $f(x)=frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)}$

$lim_{x to 0-0} f(x)=-infty, lim_{x to 0+0} f(x)=+infty$

$lim_{x to 2-0} f(x)=+infty, lim_{x to 2+0} f(x)=-infty$

$lim_{x to 3-0} f(x)=-infty, lim_{x to 3+0} f(x)=+infty$

x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

Ответ: 5

________________________________________________________________________

2) $sqrt[9]{x+1}=1+frac{1}{9}x+frac{frac{1}{9}(frac{1}{9}-1)}{2}x^2$

$sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025approx1,037$

 

________________________________________________________________________

3)$f(x)=frac{4x+5}{(x-5)^3}$

$f'(x)=frac{-8x-35}{(x-5)^4}$

x=-35/8

При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на -, т.е. это точка локального максимума

Ответ: -4,375

________________________________________________________________________

4)$f(x)=frac{2x+6}{x^2-5}$

$f'(x)=frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-sqrt{5})^2(x+sqrt{5})^2}$

критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

Ответ: -5

________________________________________________________________________

5)

а) Найдем точки пересечения

    6x-4=x²+5x-6

    x²-x-2=0

x₁=-1 x₂=2

$S=intlimits^{2}_{-1} {2+x-x^2} , dx=2x+frac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2$

 

б) Точки пересечения

   -x+7=x²-x+3

    x²-4=0

x₁=-2, x₂=2

$intlimits^2_{-2} {(4-x^2)} , dx=4x-frac{x^3}{3}|_{-2}^2=frac{32}{3}$

________________________________________________________________________

6)

a) $f(x,y)=frac{-5x-2y}{x+3y}$

    $f_x^{'}=frac{-13y}{(x+3y)^2}, f'_x(A)=-frac{52}{81}$

    $f'_y=frac{13x}{(x+3y)^2}, f'_y(A)=-frac{39}{81}$

 

направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

$f'_e=-frac{169}{81sqrt{10}}$

 

б) $f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y)$

    $f'_x=arctg(2x+y)+frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f'_x(A)=-6$

    $f'_y=-arctg(2x+y)+frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f'_y(A)=-3$

 

направляющий вектор {-2/√29, -5/√29}

$f'_e=frac{27}{sqrt{29}}$

_______________________________________________________________________

7) $f'_x=2x-4y-10=0, f'_y=-2y-4x-20=0$

x=-3, y=-4 - стационарная точка

$f''_{xx}=2>0, f''_{xy}=-4, f''_{yy}=-2$

$left[begin{array}{cc}2&-4\-4&-2end{array}right]=-20<0$

экстремумов нет