Question

Помогите решить нужна помощььь

Answer 1

$\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}} =4$

Возводим обе части в квадрат.

$(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}})^{2} = 16$

Раскрываем как квадрат суммы. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

$x + 4\sqrt{x-4} + 2 * \sqrt{x+4\sqrt{x-4}} * \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} + x - 4\sqrt{x-4} = 16$

Приводим подобные и умножаем корни во втором слагаемом.

$2x + 2 * \sqrt{(x+4\sqrt{x-4})(x-4\sqrt{x-4})} = 16$

Под корнем получается разложенная разность квадратов. Собираем обратно.

$2x + 2 * \sqrt{x^{2} - 16(x-4)} = 16$

Выносим двойку и делим обе части на неё.

$x + \sqrt{x^{2} - 16(x - 4)} = 8$

Раскрываем скобки под корнем.

$x + \sqrt{x^2 - 16x + 64} = 8$

Под корнем разложенный квадрат разности. Собираем обратно.

$x + \sqrt{(x-8)^{2}} = 8$

Корень квадрата числа равен его модулю.

$x + |x - 8| = 8$

Раскрываем модуль как два уравнения со знаком плюс и минус.

$x + x - 8 = 8; x - 8 \geq 0$

$x - x + 8 = 8; x - 8 < 0$

Решаем уравнение и интервал.

x = 8; x ∈ [8; +∞)

x ∈ R; x ∈ (-∞; 8)

Объединяем: x = 8; x ∈ (-∞; 8).

Ответ: x = 8.