Question

Помогите решить неравенство,с объяснениями.Заранее спасибо)

Answer 1

Область определения: x > 0
$(log_{0,5} (4) - log_{0,5} (x^3))^2+ frac{12+32*log_{0,5} (x)}{log_{0,5} (8)+log_{0,5} (x)} geq 0$
$(-2 - 3*log_{0,5} (x))^2+ frac{12+32*log_{0,5} (x)}{-3+log_{0,5} (x)} geq 0$
Замена $log_{0,5} (x)=y$
$(-2 - 3y)^2+ frac{12+32y}{-3+y} geq 0$
$frac{(4+12y+9y^2)(y-3)+(32y+12)}{y-3} geq 0$
$frac{9y^3+12y^2+4y-27y^2-36y-12+32y+12}{y-3} geq 0$
$frac{9y^3-15y^2}{y-3} geq 0$
$frac{3y^2(y-5)}{y-3} geq 0$
По методу интервалов y < 3 U y >= 5
Значение y = 0, при котором дробь = 0, входит в y < 3,
поэтому отдельно не учитывается.
Обратная замена $log_{0,5}(x)=y$
1) $log_{0,5}(x) textless 3$
Поскольку основание логарифма 0 < 0,5 < 1, то функция убывает
x > (0,5)^3
x > (1/2)^3
x > 1/8
2) $log_{0,5}(x) textgreater = 5$
Поскольку основание логарифма 0 < 0,5 < 1, то функция убывает
0 < x <= (0,5)^5
0 < x <= (1/2)^5
0 < x <= 1/32

Ответ: x ∈ (0; 1/32] U (1/8; +oo)

Answer 2

Спасибо я не знала,что делать с квадратным логарифмом.Когда я решила у меня получилось 0<log0,5(x)<=5/3 и log0,5(x)>3 Это не учитывая основание 0,5. А если учитывать будет так: 0>log0,5(x)>=5/3 и log0,5(x)<3 ???

Answer 3

y <= 5/3 U y > 3; отсюда log0,5(x) <= 5/3 и log0,5(x) > 3. С чего вы взяли, что логарифм должен быть больше 0? Наоборот, для x > 1 будет log0,5 (x) < 0.

Answer 4

Соответственно x < (0,5)^3 U x >= (0,5)^(5/3). Вот при переходе от log0,5 (x) к х знаки неравенств меняются. А не при переходе от у к log0,5 (x)

Answer 5

То есть, конечно, 0 < x < (0,5)^3 U x >= (0,5)^(5/3); потому что x > 0

Answer 6

спасибо.