Question

Помогите решить интеграл с помощью замены
int sqrt(25-x^2)dx
(sqrt-корень квадратный)

Answer 1

$int sqrt{25-x^2}, dx=[, x=5sint; ,; dx=5cost, dt; ,; t=arcsinfrac{x}{5}, ]=\\=int sqrt{25-25sin^2t}cdot 5cost, dt=int sqrt{25(1-sin^2t)}cdot 5cost, dt=\\=25cdot int , sqrt{cos^2t}cdot cost, dt=25cdot int cos^2t, dt=25cdot int frac{1+cos2t}{2} , dt=\\= frac{25}{2}cdot int (1+cos2t)dt=12,5cdot (t+frac{1}{2}sin2t)+C=\\=12,5cdot (arcsinfrac{x}{5}+frac{1}{2}cdot sin(2arcsinfrac{x}{5}))+C=\\=12,5cdot (arcsinfrac{x}{5}+ frac{xsqrt{25-x^2}}{25})+C$