Question

Помогите решить интеграл, оооочень срочно
$intlimits,frac{dx}{5cosx+10sinx}$

Answer 1

$int frac{dx}{5 cos(x) + 10 sin(x) } = frac{1}{5} int frac{dx}{2 sin(x) + cos(x)} = \ = frac{1}{5} int frac{1}{ sqrt{5} sin(x + arctg frac{1}{2} ) } dx = frac{ sqrt{5} }{25} int frac{1}{ sin(x + arctg frac{1}{2} ) } dx = \ x + :arctg frac{1}{2} = t, : dx = dt \ = frac{ sqrt{5} }{25} int frac{1}{ sin(t) } times frac{ sin(t) }{ sin(t) } dt = frac{ sqrt{5} }{25} int frac{ sin(t) }{ sin^{2} (t) } dt = frac{ sqrt{5} }{25} int frac{ sin(t) }{1 - cos^{2} (t) } dt = \ cos(t) = u, : dt = - frac{1}{ sin(t) } du \ = - frac{ sqrt{5} }{25} int frac{1}{1 - {u}^{2} } du = frac{ sqrt{5} }{25} int frac{1}{ {u}^{2} - 1} du = frac{ sqrt{5} }{25} times frac{1}{2} ln( | frac{u - 1}{u + 1} | ) = \ = frac{ sqrt{5} }{50} ln( | frac{ cos(t) - 1 }{ cos(t) + 1 } | ) = frac{ sqrt{5} }{50} ln( | - tan^{2} ( frac{t}{2} )| ) = frac{ sqrt{5} }{25} ln( tan( frac{t}{2} ) ) = \ = frac{ sqrt{5} }{25} ln( tan( frac{x + arctg frac{1}{2} }{2} ) ) + С$