Question

Помогите решить интеграл

Answer 1

Универсальная тригонометрическая подстановка.

$int frac{dx}{5cosx+10sinx}=Big [, t=tgfrac{x}{2},; sinx=frac{2t}{1+t^2},; cosx=frac{1-t^2}{1+t^2},; dx=frac{2, dt}{1+t^2}, Big ]=\\=int frac{2, dt}{(1+t^2)cdot (frac{5(1-t^2)}{1+t^2}+frac{20t}{1+t^2})}=int frac{2, dt}{5-5t^2+20t}=-frac{2}{5}int frac{dt}{t^2-4t-1}=\\=-frac{2}{5}int frac{dt}{(t-2)^2-5}=-frac{2}{5}int frac{d(t-2)}{(t-2)^2-5}=-frac{2}{5}cdot frac{1}{2sqrt5}cdot lnBig |frac{t-2-sqrt5}{t-2+sqrt5}Big |+C=\\=-frac{1}{5sqrt5}cdot lnBig |frac{tgfrac{x}{2}-2-sqrt5}{tgfrac{x}{2}-2+sqrt5}Big |+C$