Question

Помогите решить. дифференциальное уравнение первого порядка. найти общее решение ур-я. y' - у = x*e^2x

Answer 1

$y'-y=xcdot e^{2x}\\y=uv; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'-uv=xe^{2x}\\u'v+u(v'-v)=xe^{2x}\\a); ; v'-v=0; ,; ; ; frac{dv}{dx}=v; ,; ; int frac{dv}{v}=int dx\\lnv=x; ; to ; ; v=e^{x}\\b); ; u'v+ucdot 0=xe^{2x}\\frac{du}{dx}cdot e^{x}=xe^{2x}; ; ; to ; ; ; du=frac{xe^{2x}}{e^{x}}dx\\int du=int xe^{x}, dx\\star ; int xe^{x}, dx= [u=x; ,; du=dx; ,; v=int e^{x}dx=e^{x}; ,\\int u, dv=uv-int v, du; ]=xe^{x}-int e^{x}, dx=xe^{x}-e^{x}+C_1; star$

$u=xe^{x}-e^{x}+C\\c); ; y=uv=e^{x}(xe^{x}-e^{x}+C)=e^{2x}(x-1)+Ce^{x}$