Question

Помогите решить дифференциальное уравнение 3981

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$dfrac{dy}{dx}+dfrac{y}{x(x^2+1)}=dfrac{x(1+x^2)^2}{x(1+x^2)}$

Домножим комплектующий множитель.

$mu (x)=displaystyle e^{int frac{dx}{x(x^2+1)}}=dfrac{x}{sqrt{x^2+1}}$

Имеем

$dfrac{x}{sqrt{x^2+1}}cdot dfrac{dy}{dx}+dfrac{xy}{x(x^2+1)sqrt{x^2+1}}=dfrac{x^2(x^2+1)^{3/2}}{x(x^2+1)}\ \ \ dfrac{x}{sqrt{x^2+1}}cdotdfrac{dy}{dx}+dfrac{d}{dx}left(dfrac{x}{sqrt{x^2+1}}right)y=dfrac{x^2(x^2+1)^{3/2}}{x(x^2+1)}\ \ \ dfrac{d}{dx}left(dfrac{xy}{sqrt{x^2+1}}right)=xsqrt{x^2+1}~~Longleftrightarrow~~displaystyle intdfrac{d}{dx}left(dfrac{xy}{sqrt{x^2+1}}right)dx=intxsqrt{x^2+1}dx\ \ \ dfrac{xy}{sqrt{x^2+1}}=dfrac{1}{3}(x^2+1)^{3/2}+C$

$boxed{y=dfrac{sqrt{x^2+1}(frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2}+C)}{x}=dfrac{(x^2+1)^2+Csqrt{x^2+1}}{3x}}$