Question

помогите решить, даю 100 баллов. Дифференциальное уравнение ​

Answer 1

Ответ:

y =  -x · ln( 1 - ln|x| )

Пошаговое объяснение:

Найдите частное решение дифференциального уравнения , если y(1) = 0

$y '-\dfrac{y}{x} = e^{\tfrac{y}{x} } \\\\\\ y ' = \dfrac{y}{x} + e^ {\tfrac{y}{x} }$

У нас имеется дифференциальное   уравнение вида

$y '= \dfrac{y}{x}$

Данное уравнение  является однородным , соответственно мы можем ввести замену

$u = \dfrac{y}{x} ~ ,~ y = ux ~, ~ y '= u'x + u$

Где u(x) = u  -  функция зависящая  от x

Тогда

$\displaystyle y ' = \dfrac{y}{x} + e^ {\tfrac{y}{x} } \\\\ u'x + u = u + e^u \\\\ u'x = e^u \\\\ \frac{du}{dx} \cdot x = e^u ~ ~ \bigg | \cdot \frac{dx}{x} \\\\\\ du = e^u \frac{dx}{x} ~~ \big | : e^u \\\\\\ \frac{du}{e^u } = \frac{dx}{x} \\\\\\ \int e^{-u } \;du=\int\frac{dx}{x} \\\\\\ -\int e^{-u } \;d(-u)=\int\frac{dx}{x} \\\\\\ e^{-u } = -\ln |x| + C \\\\ e^{-u } = -\ln |x| + C \\\\ -u = \ln (C - \ln |x|) \\\\\\ u = -\ln (C - \ln |x|)$

Подставим  $u = \dfrac{y}{x}$

$\dfrac{y}{x} = -\ln (C - \ln |x|) \\\\ y = - x \ln (C - \ln |x|)$  - общее решение дифф. ур

Пользуясь тем что  y(1) = 0 , найдем константу

$0 = - 1 \ln (C - \ln 1 ) \\\\ \ln C = 0 \\\\ C = 1$

Теперь мы можем найти частное решение

y =  -x · ln( 1 - ln|x| )