Question

Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Функция трёх переменных  $u=u(x,y,z)$ задана в явном виде .

$u=xsqrt{y}-y, z^2; ; ,; ; M_1(2,1,-1); ; ,; ; M_2(0,2,0)\\vec {l}=overline {M_1M_2}=(-2,1,1); ; ,; ; |vec{l}, |=|overline {M_1M_2}|=sqrt{4+1+1}=sqrt6\\cosalpha =-dfrac{2}{sqrt6}; ,; ; cosbeta =dfrac{1}{sqrt6}; ,; ; cosgamma =dfrac{1}{sqrt6}\\u'_{x}=sqrt{y}; ; ,; ; u'_{y}=xcdot dfrac{1}{2sqrt{y}}-z^2; ; ,; ; u'_z}=-2yz\\u'_{x}(M_1)=1; ; ,; ; u'_{y}(M_1)=1-1=0; ; ,; ; u'_{z}(M_1)=2\\overline {grad, u(x,y)}=(u'_{x}, ;, u'_{y}, ;, u'_{z})$

Направление наибольшего возрастания функции в точке М1 совпадает с направлением градиента функции в этой точке. А  наибольшая скорость возрастания функции в данной точке совпадает с модулем градиента в этой точке.

$overline {grad, u(x,y)}Big|_{M_1}=Big(, 1;0;2Big); ; ,; ; Big|overline {grad, u(x,y)}Big|_{M_1}=sqrt{1+0+4}=sqrt5$

Производная по направлению вектора  $vec {l}; :$

$dfrac{u(x,y)}{partialvec {l}}=u'_{x}cdot cosalpha +u'_{y}cdot cosbeta +u'_{z}cdot cosgamma$  

$dfrac{partial, u}{partial vec{l}}Big|_{M_1}=1cdot (-frac{2}{sqrt6})+0cdot dfrac{1}{6}+2cdot dfrac{1}{sqrt6}=0$