Question

Помогите разложить на ряды
1)f(x)=sin3x
2)f(x)=ln4+x/4-x в точке x0=-3
С решением пожалуйста

Answer 1

$1); ; sint=frac{t}{1!}-frac{t^3}{3!}+frac{t^5}{5!}-ldots +(-1)^{n}cdot frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}+ldots ; ; ,; ; tin R\\t=3x; ,; sin3x=frac{3x}{1!}-frac{(3x)^3}{3!}-frac{(3x)^5}{5!}-ldots +frac{(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}+ldots \\sin3x=frac{3x}{1!}+frac{3^3cdot x^3}{3!}-frac{3^5cdot x^5}{5!}-ldots frac{3^{2n+1}cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ldots ; ; ,; ; xin R$

$2); ; ln(1+t)=t-frac{t^2}{2}+frac{t^3}{3}-ldots +(-1)^{n-1}cdot frac{t^{n}}{n}+ldots ; ; ,; ; tin (-1,1, ]\\ln(1-t)=-t-frac{t^2}{2}-frac{t^3}{3}-ldots -frac{t^{n}}{n}-ldots ; ; tin [-1,1)\\lnfrac{1+t}{1-t}=ln(1+t)-ln(1-t)=2cdot (t+frac{t^3}{3}+frac{t^5}{5}+ldots +frac{t^{2n-1}}{2n-1}+ldots )\\-1<t<1$



$frac{4+x}{4-x}=frac{1+t}{1-t}; to ; (4+x)(1-t)=(1+t)(4-x)\\4-4t+x-xt=4-x+4t-xt\\2x=8t; ,; ; t=frac{x}{4}\\ili\\frac{4+x}{4-x}=frac{4(1+frac{x}{4})}{4(1-frac{x}{4})}=frac{1+frac{x}{4}}{1-frac{x}{4}}$

$-1 textless frac{x}{4} textless 1; ,; ; -4 textless x textless 4\\lnfrac{4+x}{4-x}=2cdot Big (frac{x}{4}+frac{(frac{x}{4})^3}{3}+frac{(frac{x}{4})^5}{5}+ldots +frac{(frac{x}{4})^{2n-1}}{2n-1}+ldots Big )=\\=2cdot Big (frac{x}{4}+frac{x^3}{4^3cdot 3}+frac{x^5}{4^5cdot 5}+ldots +frac{x^{2n-1}}{4^{2n-1}cdot (2n-1)}+ldots Big )$