Помогите пж ругают((
17) Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 45. Если из первого члена вычесть 2, из второго 9, а из третьего 8, то эти числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
Ответы на вопрос
Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда:
- Второй член равен a + d.
- Третий член равен a + 2d.
Сумма трех чисел равна 45:
a + (a + d) + (a + 2d) = 45
3a + 3d = 45
a + d = 15
Теперь по условию задачи мы знаем, что:
- a - 2, (a + d) - 9 и (a + 2d) - 8 образуют геометрическую прогрессию, то есть:
a - 2 / (a + d) - 9 = (a + d) - 9 / (a + 2d) - 8
(a - 2)(a + 2d - 9) = (a + d - 9)(a + 2d - 8)
Раскроем скобки и приведем подобные:
a^2 - 20a + 18d - 18 = a^2 + 3ad - 17d - 72
23d - 20a = 54
- Мы также знаем, что отношение второго члена геометрической прогрессии ко всей сумме равно отношению суммы двух других членов к этой же сумме:
(a + d - 9) / (a + (a + d) + (a + 2d) - 9) = ((a - 2) + (a + 2d - 8)) / (a + (a + d) + (a + 2d) - 10)
(a + d - 9) / (3a + 3d - 9) = (2a + 2d - 10) / (3a + 3d - 10)
Раскрываем скобки и приводим подобные:
(a + d - 9) / (3a + 3d - 9) = (2a + 2d - 10) / (3a + 3d - 10)
a^2 - 11ad + 23d^2 - 57d + 90 = 0
Решив эту квадратную уравнение относительно a, получим:
a = (11d - √137d^2 - 552d + 1219) / 2
Теперь мы можем найти d:
a + d = 15
(11d - √137d^2 - 552d + 1219) / 2 + d = 15
57d - √137d^2 - 552d + 1219 = 0
(√137d - 19)(√137d - 33) = 0
d = 19/√137 или d = 33/√137
Однако, поскольку a и d должны быть целыми числами, то мы можем рассмотреть только второй случай:
d = 33/√137
a = (11d - √137d^2 - 552d + 1219) / 2 ≈ 2.204186...
Теперь мы можем найти все три числа арифметической прогрессии:
- Первый член: a ≈ 2.204186...
- Второй член: a + d ≈ 5.655275...
- Третий член: a + 2d ≈ 9.106364...
Теперь мы можем проверить, что из первого члена вычитается 2, из второго вычитается 9, а из третьего вычитается 8, и эти числа формируют геометрическую прогрессию:
(a - 2) / (a + d - 9) = (a + d - 9) / (a + 2d - 8)
(2.204186... - 2) / (5.655275... - 9) ≈ (5.655275... - 9) / (9.106364... - 8)
-1.79581... / -3.344725... ≈ -3.344725... / 1.106364...
0.537546... ≈ -3.021363...
Как мы видим, равенство не выполняется. Это означает, что нет решения, удовлетворяющего исходному условию задачи.