Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА ю, РЕШИТЬ ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ (!!!!! И НАЙТИ КОРНИ НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ !!!)

Answer 1

$\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos 2x}$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно одной из систем:

$\displaystyle \left \{ {{f(x) = g(x)} \atop {f(x) \geq 0 \ \ \ \ }} \right.$ или $\displaystyle \left \{ {{f(x) = g(x)} \atop {g(x) \geq 0 \ \ \ \ }} \right.$

Имеем:

$\displaystyle \left \{ {{\sin x = \cos 2x \ \ \ \ \ \ (1)} \atop {\sin x \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)}} \right.$

Решим $(1)$ уравнение с учетом условия $(2):$

$\sin x = \cos 2x$

$\sin x = 1 - 2\sin^{2}x$

$2\sin^{2}x + \sin x - 1 = 0$

Замена: $\sin x = t, \ t \in [0; \ 1]$

Характеристическое уравнение:

$2t^{2} + t - 1 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_{1} = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

$t_{2} = \dfrac{-1 - 3}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1 < 0$

Обратная замена:

$\sin x = \dfrac{1}{2}$

$x = (-1)^{n}\arcsin \dfrac{1}{2} + \pi n, \ n \in Z$

$x = (-1)^{n} \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in Z$

Отберем корни, принадлежащие интервалу $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \ \pi \right]:$

Если $n = -1$, то $x = (-1)^{-1} \dfrac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\dfrac{\pi}{6} - \pi = -\dfrac{7\pi}{6} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2}; \ \pi \right]$

Если $n = 0$, то $x = (-1)^{0} \dfrac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \dfrac{\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \ \pi \right]$

Если $n = 1$, то $x = (-1)^{1} \dfrac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \ \pi \right]$

Другие значения $n \in Z$ проверять не имеет смысла.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}; \ \dfrac{5\pi}{6}$