Question

Помогите пожалуйста вычислить (1-i)в 20 степени

Answer 1

переводим число в тригонометрический вид:
$x+yi=r(cosvarphi +isinvarphi )$, где $r= sqrt{x^2+y^2}$
и пользуемся формулой:
$[r(cosvarphi +isinvarphi )]^n=r^n[cos(n varphi) +isin(n varphi)]$

Для комплексного числа x+yi, x-действительная часть (на комплексной плоскости по оси Х), у - мнимая часть (по оси У)

в нашем случае (1-i)
на единицу по оси Х (вправо) и на -1 по оси У (вниз), получается, что эта точка находится в четвертой четверти

для четвертой четверти:
$varphi =2 pi -arctg |frac{y}{x}|$

$varphi =2 pi -arctg| frac{-1}{1} |=2 pi -arctg1=2 pi - frac{ pi }{4} = frac{7 pi }{4} \ \ r= sqrt{1^2+(-1)^2} = sqrt{2}$
 
$(1-i)^{20}= [sqrt{2} (cosfrac{7 pi }{4}+isinfrac{7 pi }{4})]^{20}=sqrt{2} ^{20}[cos(20*frac{7 pi }{4})+isin(20*frac{7 pi }{4})] \ \ =2^{10}(cos35 pi +isin35 pi )=1024(cos35 pi +isin35 pi ) \ \ OTBET: 1024(cos35 pi +isin35 pi )$