Question

Помогите пожалуйста. Вопрос во вложении

Answer 1

Решим уравнение $z^3=i$.

Представим оба числа в тригонометрической форме:

$(\cos \varphi +i\sin \varphi)^3=i\\(\cos \varphi+i \sin \varphi)^3=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}$

Используем формулу Муавра:

$\cos 3 \varphi +i \sin 3 \varphi = \cos \dfrac{\pi}{2}+i \sin \dfrac{\pi}{2}$

Приравняем аргументы (учитывая периодичность):

$3 \varphi=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \qquad k \in \mathbb Z\\\varphi=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac {2\pi k}{3}$

Из этой формулы получим три корня, принадлежащих промежутку $\varphi \in [0; 2 \pi)$:

$k=0\\\varphi_1=\dfrac{\pi}{6}\\\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}i$

$k=1\\\varphi_2=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}\\\cos \dfrac{5\pi}{6}+i\sin \dfrac{5 \pi}{6}=-\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 i$

$k=2\\\varphi_3=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}\\\cos \dfrac{3\pi}{2}+i\sin \dfrac{3\pi}{2}=0-1i=-i$

Ответ:

$z_1=\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 i\\z_2=-\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac 12 i\\z_3=-i$