Question

Помогите,пожалуйста с решением,понять не могу ,как решается,что и почему?

Answer 1

$cos^23x+cos^25x=cos^22xcdotcos^25x$

Перенесем все в левую часть:

$cos^23x+cos^25x-cos^22xcdotcos^25x=0$

Вынесем за скобки общий множитель:

$cos^23x+cos^25x(1-cos^22x)=0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$cos^23x+cos^25xsin^22x=0$

Левая часть представима в виде суммы двух квадратов:

$(cos3x)^2+(cos5xsin2x)^2=0$

Сумма квадратов равна нулю, когда каждое из слагаемых равно нулю:

$left{begin{array}{l} (cos3x)^2=0 \(cos5xsin2x)^2=0 end{array}$

$left{begin{array}{l} cos3x=0 \cos5xsin2x=0 end{array}$

Систему можно записать в виде совокупности двух систем:

$left[begin{array}{l} left{begin{array}{l} cos3x=0 \cos5x=0 end{array} \ left{begin{array}{l} cos3x=0 \sin2x=0 end{array} end{array}$

Рассмотрим первую систему:

$left{begin{array}{l} cos3x=0 \cos5x=0 end{array}$

$left{begin{array}{l} 3x=dfrac{pi }{2}+pi k\\5x=dfrac{pi}{2}+pi l end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} x=dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} k, kin Z \\x=dfrac{pi}{10}+dfrac{pi}{5} l, lin Z end{array}$

Одни и те же решения записаны с использованием разных параметров k и l (целые числа). Необходимо привести решение к одному параметру. Для этого приравниваем решения:

$dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} k =dfrac{pi}{10}+dfrac{pi}{5} l \\dfrac{1 }{6}+dfrac{1}{3} k =dfrac{1}{10}+dfrac{1}{5} l \\5+10k=3+6l\2+10k=6l\1+5k=3l$

Правая часть делится на 3, значит и левая часть должна делится на 3.

Рассмотрим число k с точки зрения делимости на 3.

Пусть $k=3r+q, qin{0;1;2}$. Тогда левая часть перепишется в следующем виде:

$1+5k=1+5(3r+q)=1+15r+5q=15r+(5q+1)$

Данное выражение должно делиться на 3. Но из возможных значений q (0, 1, 2) выражение делится на 3 лишь при q=1. Значит, число k имеет вид $k=3r+1$.

Подставляем k в соответствующую формулу решений:

$x=dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} k=dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} (3r+1)=dfrac{pi }{6}+pi r+dfrac{pi}{3}=dfrac{pi}{2}+pi r, rin Z$

Для второй системы аналогично имеем:

$left{begin{array}{l} cos3x=0 \sin2x=0 end{array}$

$left{begin{array}{l} 3x=dfrac{pi }{2}+pi k\\2x=pi l end{array} Rightarrow left{begin{array}{l} x=dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} k, kin Z \\x=dfrac{pi }{2} l, lin Z end{array}$

Приравниваем решения:

$dfrac{pi }{6}+dfrac{pi}{3} k=dfrac{pi }{2} l\\dfrac{1 }{6}+dfrac{1}{3} k=dfrac{1 }{2} l\\1+2k=3l\2k=3l-1$

Левая часть делится на 2, значит и правая часть должна делиться на 2.

Пусть $l=2r+q, qin{0;1}$. Подставляем в правую часть:

$3l-1=3(2r+q)-1=6r+3q-1=6r+(3q-1)$

Из возможных значений q (0 или 1) последнее выражение четно при q=1. Значит, число l имеет остаток 1 при делении на 2: $l=2q+1$.

Подставляем l в соответствующую формулу решений:

$x=dfrac{pi }{2} l=dfrac{pi }{2} (2r+1)=dfrac{pi }{2}+pi r, rin Z$

Ответ: $dfrac{pi }{2}+pi r, rin Z$

Answer 2

ептвоюмать