Question

Помогите пожалуйста Решите с А1 по В1. Только с решением! Пожалуйста 9 класс

Answer 1

A1.

Sшестиугольника = $frac{3sqrt{3} a^2}{2}$

Ответ: 4

A2.

Правильный четырёхугольник - это квадрат. Так как он вписан в окружность, то диаметр окружности будет равен диагонали квадрата. Диагонали квадрата пересекаются в центре и делят его на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника с бок. сторонами = R ⇒ S квадрата равна площади четырех треугольников:

$S = 4 (frac{R * R}{2} )$ $= 2 R^2$

Ответ: 1

A3.

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, стороны которых равны a, а высоты равны радиусу R. Найдем, чему равны стороны через высоту (радиус):

$R = frac{asqrt{3} }{2}$

$a = frac{2R}{sqrt{3}}$

Площадь одного треугольника будет равна:

$S = frac{a^2sqrt{3} }{4}$ $= frac{4R^2sqrt{3} }{3*4} = frac{R^2sqrt{3}}{3 }$

Площадь шестиугольника:

$S_w = frac{6R^2sqrt{3} }{3} = 2R^2sqrt{3}$

Ответ: 2

B1.

Пусть вписанный треугольник - ΔABC, сторона = $a$; описанный - ΔA₁B₁C₁, сторона - $a_1$

Для ΔA₁B₁C₁ радиус $R = frac{1}{3}$ высоты $h$

$h^2 = a^2 - (frac{1}{2} a)^2 = a^2 - frac{1}{4} a^2 = frac{3a^2}{4} \h = frac{asqrt{3} }{2}$

$R = frac{asqrt{3} }{2} * frac{1}{3} = frac{asqrt{3} }{6}$ ⇒

⇒ $a = frac{6R}{sqrt{3} } = frac{6sqrt{3}R}{sqrt{3}*sqrt{3}} = 2sqrt{3}R$

$P = 3a; P_{A_1B_1C_1} = 3 * 2sqrt{3} R = 6sqrt{3} R$

$S = frac{1}{2} a*h; S_{A_1B_1C_1} = frac{1}{2} * 2sqrt{3} R * frac{2sqrt{3} R * sqrt{3} }{2} = frac{4*3*sqrt{3} R^2}{4} = 3sqrt{3} R^2}$

Для ΔABC радиус R = $frac{2}{3}$ высоты $h$:

$R = frac{asqrt{3} }{2} * frac{2}{3} = frac{asqrt{3} }{3}$ ⇒

⇒ $a = frac{R * 3}{sqrt{3} } = frac{3R * sqrt{3} }{sqrt{3} * sqrt{3} } = sqrt{3} R$

$P_{ABC} = 3sqrt{3} R\S_{ABC} = frac{1}{2} * sqrt{3} R * frac{sqrt{3}R*sqrt{3}}{2} = frac{3R^2 * sqrt{3}}{4}$

Найдем соотношение периметров и площадей:

$S_{A_1B_1C_1} : S_{ABC} = 3sqrt{3}R^2 : frac{3R^2sqrt{3} }{4} = 4: 1\P_{A_1B_1C_1} : P_{ABC} = 6sqrt{3}R : 3sqrt{3}R = 2 : 1$