Question

Помогите пожалуйста решить задания

Answer 1

Ответ:

1.

$\int\limits \frac{2 {x}^{3} - \sqrt{x} + 4 }{ {x}^{2} } dx = \int\limits( \frac{2 {x}^{3} }{ {x}^{2} } - \frac{ {x}^{ \frac{1}{2} } }{ {x}^{2} } + \frac{4}{ {x}^{2} } )dx = \\ = \int\limits(2x - {x}^{ - \frac{3}{2} } + 4 {x}^{ - 2} )dx = \frac{2 {x}^{2} }{2} - \frac{ {x}^{ - \frac{1}{2} } }{( - \frac{1}{2}) } + \frac{4 {x}^{ - 1} }{( - 1)} + C= \\ = {x}^{2} + \frac{2}{ \sqrt{x} } - \frac{4}{x} + C$

2.

$\int\limits \sqrt{1 + 3x} dx = \frac{1}{3} \int\limits {(3x + 1)}^{ \frac{1}{2} } d(3x + 1) = \\ = \frac{1}{3} \times \frac{ {(3x + 1)}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + C = \frac{2}{9} \sqrt{ {(3x + 1)}^{3} } + C$

3.

$\int\limits \frac{ {arccos}^{2} (3x)}{ \sqrt{1 - 9 {x}^{2} } } dx = \frac{1}{3} \int\limits {arccos}^{2} (3x) \times \frac{1}{ \sqrt{1 - {(3x)}^{2} } } d(3x) = \\ = \frac{1}{3} {arccos}^{2}(3x) d(arccos3x) = \frac{ {arccos}^{3} (3x)}{9} + C$

4.

$\int\limits \sin(4x + 3) dx = \frac{1}{4} \int\limits \sin(4x + 3) d(4x + 3) = \\ = - \frac{1}{4} \cos(4x + 3) + C$

5.

$\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } {e}^{arcsinx} } = \int\limits \frac{d(arcsinx)}{e {}^{ arcsinx}} = \\ = - \int\limits {e}^{ - arcsinx} d( - arcsinx) = - {e}^{ - arcsinx} + C$

6.

$\int\limits(x + 2) {e}^{ - x} dx \\ \\ u = x + 2 \: \: \: \: \: du = dx \\ dv = e {}^{ - x} dx \: \: \: \: \: \: v = - {e}^{ - x} \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = - (x + 2) {e}^{ - x} + \int\limits {e}^{ - x} dx = \\ = ( - x - 2 ){e}^{ - x} - \int\limits {e}^{ - x} d( - x) = \\ = ( - x - 2) {e}^{ - x} - {e}^{ - x} + C = \\ = e {}^{ - x} ( - x - 3) + C$