Question

Помогите пожалуйста решить задачу
Исследовать полностью функцию ​

Answer 1

Ответ:

График построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график.

$\displaystyle \bf y=\frac{x+1}{x^2+2x}$

1) Область определения функции.

• На ноль делить нельзя.

⇒ х² + 2х ≠ 0

х (х + 2) ≠ 0

х ≠ 0;   х ≠ -2

D(y) = (-∞; -2) ∪ (-2; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+2(-x)} =\frac{-x+1}{x^2-2x}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x)   ⇒   функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Ох   ⇒   у = 0

х + 1 = 0   ⇒   х = -1

Точка пересечения с осью Ох - (-1; 0)

2) с осью Оу   график не пересекается, так как х ≠ 0.

4. Асимптоты.

1) Вертикальные.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x^2+2x} =\frac{1}{0}= \infty}\\ \\\lim_{x \to {-2}} \frac{x+1}{x^2+2x} =\frac{-1}{0}=- \infty}$

⇒ х = 0; х = -2 - вертикальные асимптоты.

2) Наклонная у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x(x^2+2x)} =0\\\\b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x^2-2x}-kx\right)= \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2-2x} =0$

⇒  y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle y'=\frac{(x^2+2x)-(x+1)(2x+2)}{(x^2+2x)^2} =\frac{x^2+2x-2x^2-2x-2x-2}{(x^2+2x)^2} =\\\\=\frac{-x^2-2x-2}{(x^2+2x)^2}=-\frac{(x^2+2x+1+1)}{(x^2+2x)^2}=-\frac{(x+1)^2+1}{(x^2+2x)^2}$

Так как (х + 1)² ≥ 0, то ((х + 1)² + 1) > 0

⇒ полученная дробь отрицательна.

• Если производная отрицательна, то функция убывает.

Не забываем про точки, в которых производная не существует:

х ≠ 0; х ≠ -2

$---(-2)---(0)---$

Функция убывает на промежутках: (-∞; -2), (-2; 0), (0, +∞)

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle y''=-\frac{(2x+2)(x^2+2x)^2-(x^2+2x+2)\cdot2(x^2+2x)(2x+2)}{(x^2+2x)^4} =\\\\=-\frac{(x^2+2x)(2x+2)(x^2+2x-2x^2-4x-4)}{(x^2+2x)^4} =\\\\=-\frac{(2x+2)(-x^2-2x-4)}{(x^2+2x)^3} =\frac{(2x+2)(x^2+2x+1 +3)}{(x^2+2x)^3} =\\\\=\frac{2(x+1)((x+1)^2+3)}{(x^2+2x)^3}$

Выражение во второй скобке числителя положительно.

у'' = 0   ⇒ x = -1

Получили три точки:

х = -1; х ≠ 0; х ≠ -2

$---(-2)+++[-1]---(0)+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -2); [-1; 0)

Функция вогнута на промежутках: (-2; 1]; (0; +∞)

х = -1 - точка перегиба.

Строим график.