Question

помогите пожалуйста решить все

Answer 1

№3.

Пусть $vec{n_1}$ нормальный вектор плоскости x+y-z=0, тогда $displaystyle vec{n_1}={1;1;-1}$.

Пусть $displaystyle vec{n_2}$ нормальный вектор плоскости x-y-5z=8, тогда $displaystyle vec{n_2} ={1;-1;-5}$.

Пусть $displaystyle vec{p_1}={x_p ;y_p ;z_p}$ направляющий вектор прямой, заданной системой.

Скалярное произведение векторов $vec{n_1}$, $displaystyle vec{p_1}$ и $displaystyle vec{n_2}$ , $displaystyle vec{p_1}$  равно нулю т.к. эти векторы перпендикулярны.

$displaystyle left { {{(vec{n_1} cdot vec{p_1})=0} atop {(vec{n_1} cdot vec{p_1})=0}} right. \ \ left { {{x_p+y_p-z_p=0} atop {x_p-y_p-5z_p=0}} right. \ \ left { {{y_p=-2z_p} atop {x_p=3z_p}} right. qquad vec{p_1}={3;-2;1}$

Осталось найти общею точку плоскостей, что полностью определить прямую. Пусть z=0, тогда $displaystyle left { {{x+y=0} atop {x-y=8}} right.$ откуда x=4; y=-4. Получили точку A(4;-4;0).

Пусть $displaystyle vec{p_2}$ направляющий вектор прямой $dfrac{x+2}3 =dfrac{y-1}{-2} =dfrac{z}1$, тогда $displaystyle vec{p_2}={3;-2;1}$, а точка этой прямой B(-2;1;0).

$displaystyle vec{p_1}$ = $displaystyle vec{p_2}$, значит прямые параллельны или совпадают ⇒ не пересекаются. Аппликата у точек A и B равна 0, но эти точки различны, значит прямые не совпадают.

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной прямой с точкой A и направляющим вектором $displaystyle vec{p} ={3;-2;1}$:

3(x-4)-2(y+4)+1(z-0)=0; 3x-2y+z=20. Найдём точку пересечения этой плоскости с прямой содержащей точку B.

Прямая в параметрическом виде: $begin{Bmatrix}displaystyle x=-2+3alpha\ y=1-2alpha quad \ z=alpha qquad quad end{matrix} ,alpha in mathbb{R}$

Подставим координаты в уравнение плоскости:

-6+9α-2+4α+α=20 ⇒ α=2. Теперь подставим α. Точка пересечений С(4;-3;2).

Расстояние между нужными прямыми есть ρ(A,C) = $displaystyle sqrt{(4-4)^2+(-4+3)^2+(0-2)^2} =sqrt5$

Ответ: √5.

№4.

Пусть $vec{n}$ нормальный вектор плоскости 6x-y+3z-41=0, тогда $vec{n} ={6;-1;3}$.

При сдвиге точки P(1;2;-3) на вектор k·$vec{n}$ должна получиться точка, лежащая на плоскости, то есть удовлетворяющая уравнению. Так и запишем. 6(1+6k)-(2-k)+3(-3+3k)-41=0 ⇒ k=46/47. Пусть проекция точки P на плоскость это $diplaystyle P'(P_x;P_y;P_z)$.

$displaystyle P_x =1+frac{46}{47}cdot 6=frac{277}{47} \\ P_y =2+frac{46}{47}cdot (-1)=frac{48}{47} \\P_z =-3+frac{46}{47}cdot 3=frac{-3}{47}$

Ответ: $displaystyle tt bold P'bigg(frac{277}{47} ;frac{48}{47} ;frac{-3}{47} bigg)$.

№5.

Запишем прямые в параметрическом виде.

$displaystyle frac{x-7}1= frac{y-3}{2} =frac{z-9}{-1}:; vec{p_1} ={1;2;-1} , A(7;3;9)\ begin{Bmatrix}displaystyle x=7+alpha\ y=3+2alpha \ z=9-alpha quad end{matrix} ,alpha in mathbb{R}$

$displaystyle frac{x-3}{-7}= frac{y-1}{2} =frac{z-1}{3}:; vec{p_2} ={-7;2;3} , B(3;1;1)\ begin{Bmatrix}displaystyle x=3-7beta\ y=1+2beta \ z=1+3beta end{matrix} ,beta in mathbb{R}$

Найдём нормальный вектор $displaystyle vec{n}={a;b;c}$ к плоскости, которая параллельна обоим прямым (вне зависимости от взаимного расположения прямых в пространстве, всегда существую такая плоскость).

$displaystyle left { {{(vec{n} cdot vec{p_1})=0} atop {(vec{n} cdot vec{p_2})=0}} right. \ \ left { {{a+2b-c=0} atop {-7a+2b+3c=0}} right. \ \ left { {{c=2a} atop {displaystyle b=frac{a}2}} right. qquad vec{n}={2;1;4}$

Я хочу, чтобы при сдвиге точки из одной прямой на вектор $displaystyle kcdot vec{n}$ мы получили точку другой прямой. Эти точки будут лежать на общем перпендикуляре. И если найти эти точки, то можно составить уравнение.

$begin{Bmatrix}displaystyle 7+alpha+2k=3-7beta\ 3+2alpha+k=1+2beta \ 9-alpha+4k=1+3beta end{matrix} quad begin{Bmatrix}displaystyle 16+6k=4-4beta quad \ 1-3alpha=1-11beta quad \ 7+alpha+2k=3-7beta end{matrix}$

$quad begin{Bmatrix}displaystyle 2k=-4-frac43beta qquad qquad quad \\displaystyle alpha=frac{11}3beta qquad qquad qquad qquad \\ displaystyle 7+frac{11}3 beta-4-frac43 beta=3-7beta end{matrix}$

$quad begin{Bmatrix}displaystyle beta =0 \ alpha=0 \ k=-2end{matrix}$

Получается, что точки A  и B это и есть точки общего перпендикуляра.

$vec{BA}={4;2;8}$

Ответ: $displaystyle tt frac{x-3}{4} =frac{y-1}{2} =frac{z-1}{8}$ .