Question

Помогите. пожалуйста, решить уравнение

Answer 1

Обозначим 1-х=t,  -π/2 ≤ -t ≤ 0, тогда 1-π/2 ≤ 1-t ≤1, т.е угол 1-t в IY  или в I четверти.
Перепишем данное уравнение в виде:
соs πt+cos 2πt+ cos 3πt=0

Применим формулу суммы косинусов:

$cos alpha +cos beta =2 cos frac{ alpha + beta }{2} cdot cos frac{ alpha - beta }{2}$

$2cos frac{ pi alpha +3 pi alpha }{2} cos frac{ pi alpha -3 pi alpha }{2} + cos 2 pi alpha =0$

$2cos2 pi alpha cos(- pi alpha )+cos2 pi alpha =0$

$cos2 pi alpha (2cos pi alpha +1)=0$

$left [ {{cos2 pi alpha =0} atop {2cos pi alpha =-1}} right. Rightarrow left [ {{2 pi alpha = frac{ pi }{2} + pi k} atop { pi alpha =pm( pi - frac{ pi }{3} )+ 2pi n}} right.$
k,n∈Z

$left [ {{ alpha = frac{1}{4}+ frac{k}{2} } atop { alpha =pm frac{2}{3}+2n }} right.$

Обратная замена:

$left [ {{1-x= frac{1}{4}+ frac{k}{2} } atop {1-x= pmfrac{2}{3}+2n }} right. Rightarrow left { {{x= frac{3}{4} }- frac{k}{2} atop {x= frac{1}{3}-2nbigcup x= frac{5}{3} -2n }} right.$

k,n∈Z

Условию    0≤ х ≤ π/2 удовлетворяют

при к=-1   х₁=3/4+1/2=5/4∈[0;π/2];
при к=0    х₂=3/4∈[0;π/2];
при к=1    х₃=3/4-1/2=1/4∈[0;π/2];

при n=0     x₄=1/3 ∈[0;π/2],  x₅=5/3∉[0;π/2];
при n=1     x₆=-2/3∉[0;π/2],  x₇=-1/3 ∉[0;π/2];
при n=-1    x₈=5/3 ∉[0;π/2],  x₉=11/3∉[0;π/2].

Ответ.х=5/4; х=3/4; х=1/4; x=1/3