Question

Помогите пожалуйста решить уравнение

Answer 1

...................................

Answer 2

$4^{x+\sqrt{x^{2} -2} } -5*2^{x-1+\sqrt{x^{2} -2} } =6\\2^{({x+\sqrt{x^{2} -2})*2}}-5* \frac{2^{x+\sqrt{x^{2} -2}}}{2} =6$

Пусть $2^{x+\sqrt{x^{2} -2}}$ = t :

$t^{2} -5* \frac{t}{2} =6 | *2\\2t^{2} -5t=12\\2t^{2} -5t-12 = 0\\D = (-5)^{2} -4*(-12)*2 = 25 + 4*12*2 = 25 + 96 = 121=11^{2} \\t1 = \frac{5+11}{4} = \frac{16}{4} =4\\t2 = \frac{5-11}{4 }= -\frac{6}{4} = -1,5$

Обратная замена :

1)                                                            

$2^{x+\sqrt{x^{2}-2 }} =4\\2^{x+\sqrt{x^{2}-2 }} =2^{2} \\x+\sqrt{x^{2}-2 }=2\\\sqrt{x^{2}-2 } = 2-x$                                    

Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии что правая часть уравнения ≥ 0 :

2 - x ≥ 0

x ≤ 2

-------------

$(\sqrt{x^{2}-2 })^{2} =(2-x)^{2} , x\leq 2\\x^{2} -2=4-4x+x^{2} \\4x = 6\\x = 1.5$ - ответ  

1.5 меньше 2, то есть корень нам подходит.

2)                                                                

$2^{x+\sqrt{x^{2}-2 }} =-1.5$

x ∈ ∅

Ответ : x = 1.5