Question

Помогите пожалуйста решить ряд

Answer 1

Если требуется исследовать ряды на сходимость, то можно в обоих случаях использовать радикальный признак Коши.

1)

$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{narcsin^nfrac{pi}{4n} } =sqrt[n]{n} arcsinfrac{pi}{4n}=(*)$

Здесь встретился довольно редко использующийся в учебных заданиях предел $limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{n}$. В курсе анализа доказывается, что этот предел равен 1.

Тогда $(*)=1cdot arcsin0=0$

Предел меньше 1, поэтому ряд сходится.

2)

$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{left(frac{2n+3}{n+1} right)^{n^2}} =limlimits_{ntoinfty}left(frac{2n+3}{n+1} right)^{n}=2^{infty}=infty$

Ряд расходится.