Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕ
тема числовые ряды. признаки сходимости

Answer 1

Первым делом проверяем условие $forall ninmathbb{N} a_n geq 0$
Смысл проверки в том, что для рядов с непостоянным знаком у нас есть только признак Вейерштрасса и признак Абеля, а значит - отпадают признаки неравенства, Даламбера,радикала, интеграла, $|sum_{n=0}^{infty} a_n|<infty Leftrightarrow |sum_{n=0}^{infty} 2^na_{2^n}|<infty$ и т.д...

В данном случае ряд знак не меняет. Применяем радикальный признак:
$limsup_{ntoinfty} sqrt[n]{a_n}$
В данном случае последовательность сходится, значит $liminf=limsup=lim$
Получаем: $limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}=frac{1}{2}<1$
Следовательно - ряд сходится.
Напоминаю радикальный признак:
$limsup_{ntoinfty} sqrt[n]{a_n}=q\ if q<1 Rightarrow |sum a_n|<infty \ if q>1 Rightarrow |sum a_n|=infty \ if q=1 Rightarrow ?$

Ещё один способ - признак Даламбера. Он облегчает подсчёт предела последовательности, но если $liminf a_n<0 land limsup a_n>0$ - ответа не даст. Потому применяется, в основном, если у последовательности есть предел по Коши.
Признак Даламбера:
$lim_{ntoinfty}|frac{a_{n+1}}{a_n}|=frac{1}{2}$
Условия схождения у Даламбера такие-же, как у радикального признака, потому повторно писать не буду.

Вроде всё, если что не ясно - пиши.

P.S. Архи-важная вещь по признаку Даламбера:
$liminf_{ntoinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}>1 Rightarrow|sum_{n=0}^infty a_n|=infty \ limsup_{ntoinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}<1 Rightarrow|sum_{n=0}^infty a_n|<infty \ (limsup_{ntoinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}>1 or liminf_{ntoinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}<1 means nothing$