Question

Помогите пожалуйста решить
Нужно Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits_{-\sqrt2}^{-1}\, dx\int\limits_0^{\sqrt{2-x^2}}\, f(x,y)\, dy+\int\limits_{-1}^0\, dx\int\limits_0^{x^2}\, f(x,y)\, dy=(*)\\\\\\1)\ \ \left\{\begin{array}{l}-\sqrt2\leq x\leq -1\\\ \ 0\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\end{array}\right\ \ ,\ \ \ 2)\ \ \left\{\begin{array}{l}-1\leq x\leq 0\\\ \ 0\leq y\leq x^2\end{array}\right$

1 область.    $y=\sqrt{2-x^2}\ \ \Rightarrow \ \ \ y^2=2-x^2\ \ ,\ \ x^2+y^2=2$  .

Имеем верхнюю часть окружности (полуокружность) с центром в точке (0,0) и радиусом R=√2 . Нужная нам часть полуокружности проектируется на ось ОХ в отрезок  $[-\sqrt2\, ;-1\ ]$  .

2 область.  $y=x^2$  - парабола с вершиной в точке (0,0), ветви вверх . Нужная нам часть этой параболы проектируется на ось ОХ в отрезок  $[-1\ ;\ 0\ ]$  .

Если менять порядок интегрирования, то надо полученную область спроектировать на ось ОУ . Она проектируется на эту ось в отрезок  $[\ 0\ ;\ 1\ ]$  .  Область будет простой. Если провести через любую внутреннюю точку области луч , параллельный оси ОХ , то точка входа луча в область лежит на полуокружности , а точка выхода - на параболе .

Вход:

$y=\sqrt{2-x^2}\ \ \Rightarrow \ \ x^2+y^2=2\ \ ,\ \ x^2=2-y^2\ \ ,\ \ x=\pm \sqrt{2-y^2}$

Так как эта часть полуокружности проектируется на ось ОХ , где переменная "х" принимает отрицательные значения, то выбираем знак минус перед корнем .

Выход:

$y=x^2\ \ \Rightarrow \ \ x=\pm \sqrt{y}$

Аналогично, выбираем знак минус перед корнем .

Меняем порядок интегрирования, получаем один повторный интеграл:

$\displaystyle (*)=\int\limits_0^1\, dy\int\limits_{-\sqrt{2-y^2}}^{-\sqrt{y}}\, dx$