Question

Помогите пожалуйста решить , номер 8 ​

Answer 1

Объяснение:

$8.\ A_1(0;-3;3)\ \ \ \ A_2(-4;-4;5)\ \ \ \ A_3(5;-1;2)\ \ \ \ A_4(0;0;3).$

1. Косинус угла α между плоскостями (A₁A₂A₃) и (A₂A₃A₄).

Для начала составим уравнения плоскостей (A₁A₂A₃) и (A₂A₃A₄),

используя формулу:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_A&y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A\end{array}\right|=0$

$1)\ A_1(0;-3;3)\ \ \ \ A_2(-4;-4;5)\ \ \ \ A_3(5;-1;2)\\\\\left|\begin{array}{ccc}x-0&y-(-3)&z-3\\-4-0&-4-(-3)&5-3\\5-0&-1-(-3)&2-3\end{array}\right|=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\begin{array}{ccc}x&y+3&z-3\\-4&-1&2\\5&2&-1\end{array}\right| =0.$

$x*((-1)*(-1)-2*2)-(y+3)*((-4)*(-1)-5*2)+(z-3)*((-4)*2-5*(-1))=\\=x*(1-4)-(y+3)*(4-10)+(z-3)*(-8+5)=\\=-3x-(y+3)*(-6)+(z-3)*(-3)=-3x+6*(y+3)-3*(z-3)=\\=-3x+6y+18-3z+9=-3x+6y-3z+27=0.\\-3x+6y-3z+27=0\ |:3\\-x+2y-z+9=0.$

$2)\ A_2(-4;-4;5)\ \ \ \ A_3(5;-1;2)\ \ \ \ A_4=(0;0;3).$

$\left|\begin{array}{ccc}x-(-4)&y-(-4)&z-5\\5-(-4)&-1-(-4)&2-5\\0-(-4)&0-(-4)&3-5\end{array}\right|=0\ \ \ \ \ \ \ \left|\begin{array}{ccc}x+4&y+4&z-5\\9&3&-3\\4&4&-2\end{array}\right|=0.$

$(x+4)*(3*(-2)-4*(-3))-(y+4)*(9*(-2)-4*(-3))+(z-5)*(9*4-4*3)=\\=(x+4)*(-6+12)-(y+4)*(-18+12)+(z-5)*(36-12)=\\=6*(x+4)-(-6)*(y+4)+24*(z-5)=6x+24+6y+24+24z-120=\\=6x+6y+24z-72=0.\\6x+6y+24z-72=0\ |:6\\x+y+4z-12=0.$

$\left\{\begin{array}{ccc}-x+2y-z+9=0\\x+y+4z-12=0\\\end{array}\right\ \ \ \ \ \ \Rightarrow$

$cos\alpha =\frac{|(-1)*1+2*1+(-1)*4|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} *\sqrt{1^1+1^2+4^2} } =\frac{|-1+2-4|}{\sqrt{1+4+1}*\sqrt{1+1+16} } =\frac{|-3|}{\sqrt{6} *\sqrt{18} } =\\=\frac{3}{\sqrt{108} } =\frac{3}{\sqrt{36*3} } =\frac{3}{6\sqrt{3} }=\frac{1}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{2*\sqrt{3}*\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{2*3}=\frac{\sqrt{3} }{6}.\\\\cos\alpha = \frac{\sqrt{3} }{6}.$

2. Синус угла β между ребром А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃.

$A_1A_4=(0-0;0-(-3);3-3)=(0;3;0).\\A_1A_2A_3=-x+2y-z+9=0\ \ \ \ \Rightarrow$

$sin\beta =|\frac{0*(-1)+3*2+0*(-1)}{\sqrt{0^2+3^2+0^2} *\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2} } |=|\frac{0+6+0}{\sqrt{0+9+0}*\sqrt{1+4+1} }|=\frac{6}{3\sqrt{6} }=\frac{2*\sqrt{6} }{\sqrt{6}*\sqrt{6} }=\frac{\sqrt{6} }{3} . \\\\sin\beta =\frac{\sqrt{6} }{3} .$

3. Площадь грани А₁А₂А₃ вычисляем с помощью векторного произведения векторов:

$S_{A_1A_2A_3}=\frac{1}{2} *|\^A_1A_2*\^A_1A_3|\\\^A_1A_2=(-4-0;-4-(-3);5-3)=(-4;-1;2).\\\^A_1A_3=(5-0;-1-(-3);2-3)=(5;2;-1).$

Сначала найдём векторное произведение:

$\^N=\^A_1A_2*\^A_1A_3=\left|\begin{array}{ccc}\^i&\^j&\^k\\-4&-1&2\\5&2&-1\end{array}\right|=\\=\^i*((-1)*(-1)-2*2)-\^j*((-4)*(-1)-2*5)+\^k*((-4)*2*(-1)*5)=$

$=\^i*(1-4)-\^j*(4-10)+\^k*(-8+5)=-3\^i+6\^j-3\^k.$

Вычислим его длину:

$|\^N|=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} =\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=\sqrt{9*6} =3\sqrt{6} .$

$S_{A_1A_2A_3}=\frac{1}{2}*|\^N|=\frac{3\sqrt{6} }{2 } .$