Question

Помогите, пожалуйста, решить интеграл

Answer 1

Ребят, это же не школьная программа, ставьте хотя бы вознаграждение соответствующее.

Основная задача подобных интегралов - привести их к простому виду.

К примеру, в числителе можно отнять и прибавить единицу, чтобы можно было разбить на простые.

∫$frac{ e^{4x}}{ e^{x} -1}$dx = ∫$frac{(e^{4x} - 1) + 1}{ e^{x} -1}$dx = ∫$frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$dx + ∫$frac{1}{e^{x} -1}$dx

Далее рассмотрим интегралы по отдельности:

1) $e^{4x}$ - 1 = ($e^{2x}$ - 1)($e^{2x}$ + 1) =  ($e^{x}$ - 1)($e^{x}$ + 1)($e^{2x}$ + 1)

Разделим (1) на ($e^{x}$ - 1) и получим:

($e^{x}$ + 1)($e^{2x}$ + 1) = $e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1

Откуда интеграл  ∫$frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$dx плавно превращается в ∫($e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1)dx или в сумму интегралов: 

∫$e^{3x}$dx + ∫$e^{2x}$dx + ∫$e^{x}$dx + ∫1dx

Запишем их первообразные:

1) ∫$e^{3x}$dx = 1/3 * $e^{3x}$ + С (любая константа)
2) ∫$e^{2x}$dx = 1/2 * $e^{2x}$ + С (любая константа)
3) ∫$e^{x}$dx = $e^{x}$ + С (любая константа)
4) ∫1dx = x + C (любая константа)

Возвращаемся в начало и разберемся с интегралом ∫$frac{1}{e^{x} -1}$dx:

5) ∫$frac{1}{e^{x} -1}$dx =  ∫$( e^{x} -1)^{-1}$ dx

В инете есть куча табличек по производным и первообразным, советую их заучить. Производная ln`(x) = ln(x)*x. Воспользуемся этим логарифмом и получим: 

5) ∫$( e^{x} -1)^{-1}$ dx = ln(1 - $e^{x}$) - x + C (любая константа)

А теперь суммируем (1) (2) (3) (4) (5) и получаем ответ:

1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + x + ln(1 - $e^{x}$) - x + C (любая константа) = 1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + ln(1 - $e^{x}$) + C

Answer 2

Спасибо Вам большое! Очень помогли!

Answer 3

Про баллы Вы правы. Просто не заходила давно сюда, поэтому на выставление баллов не обратила внимание. Ещё раз благодарю Вас! Всё доступно и понятно объяснили)