Question

Помогите пожалуйста решить интеграл 16ый пример с решением

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^4_0\, \frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}}=\Big[\ t^2=2x+1\ \ ,\ \ t=\sqrt{2x+1}\ ,\ x=\frac{t^2-1}{2}\ ,\ dx=t\, dt\ \Big]=\\\\\\=\Big[\ t_1^2=2\cdot 0+1=1\ ,\ t_1=1\ ;\ \ t_2^2=2\cdot 4+1=9\ ,\ t_2=3\ \Big]=\\\\=\int\limits^3_1\, \frac{t\, dt}{1+t}=\int\limits^3_1\, \Big(1-\frac{1}{1+t}\Big)\, dt=\Big(t-ln|1+t|\Big)\Big|_1^3=3-ln4-(1-ln2)=\\\\\\=2+ln2-ln4=2+ln\frac{1}{2}=2-ln2\ ;$