Question

Помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y=(x^2-2x)e^x$

1. ОДЗ: x ∈ R

2. Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=((-x)^2-2(-x))e^{(-x)}=(x^2+2x)*\frac{1}{e^x}\\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечения с осями.

$\displaystyle a)\;x=0;\;y=0*e^0=0\\d)\;y=0;\;(x^2-2x)e^x=0\\x(x-2)e^x=0\\x=0;\;x=2;\;e^x>0$

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные: y = kx + b.

$k=lim_{n \to -\infty} \frac{(x^2-2x)e^x}{x}=0\\\\b= \lim_{n \to -\infty} (x^2-2x)e^x-0=0$

⇒ y = 0 - горизонтальная асимптота

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную:

$\displaystyle y'=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=e^x(2x-2+x^2-2x)=-e^x(x^2-2)$

Приравняем к 0 и найдем корни:

$-e^x(x^2-2)=0\\\\x=\sqrt{2};\;\;\;x=-\sqrt{2}$

Отметим точки на числовой оси и определим знак производной на промежутках. Если "+", функция возрастает, "-" - убывает.

См. рис.

Функция возрастает при х ∈ (-∞; -√2]∪[√2; +∞)

Функция убывает при х ∈ [-√2; √2]

$\displaystyle x_{max}=-\sqrt{2};\;\;\;x_{min}=\sqrt{2}$

$\displaystyle y(-\sqrt{2} )\approx 1,2\\y(\sqrt{2})\approx -3,4$

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба:

Найдем производную второго порядка.

$\displaystyle y''=-e^x(x^2-2)-e^x*2x=-e^x(x^2+2x-2)$

Приравняем к 0 и найдем корни:

$\displaystyle -e^x(x^2+2x-2)=0\\\\x_{1,2}=\frac{-2^+_-\sqrt{4+8} }{2}=-1^+_-\sqrt{3}\\\\x_1=-2,7;\;\;\;x_2\approx 0,7$

Определим знаки второй производной на промежутках.

Если "+", то функция вогнута, "-" - выпукла.

См. рис.

Вогнута при х ∈ (-∞; -2,7[ ∪ [0,7; +∞)

Выпукла при x ∈ [-2,7; 0,7]

x перегиба ={ -2,7; 0,7}

$y(-2,7)\approx 0,7;\;\;\;\;\;y(0,7)\approx - 2$

Строим график: