Question

Помогите пожалуйста решить 3 задание и построить график. Нужно найти объём.

Answer 1

3) Находим крайние точки фигуры как точки пересечения кривых.
Приравняем: 
{y = 4√x
{y = x²/2

4√x = x²/2 
8√x = x²
64x = x⁴
x⁴ - 64x = 0
x(x³ - 64) = 0.

Отсюда х₁ = 0   х₂ = ∛64= 4.

Площадь фигуры равна интегралу:
$S= intlimits^4_0 {(4 sqrt{x} - frac{x^2}{2} } ,) dx =$$frac{8 sqrt{64} }{3} - frac{64}{6} = frac{64}{6} = frac{32}{3} .$

Объём тела вращения:
$V= pi intlimits^4_0 {(y_2^2-y_1^2)} , dx = pi intlimits^4_0 {(16x- frac{x^4}{4} } , dx = pi ( frac{16x^2}{2} - frac{x^5}{20})|_0^4=$$pi (128-51,2)=76,8 pi$ ≈ 241,2743 куб.ед.