Question

Помогите пожалуйста решить:
1) $4^{ sqrt{3} cos^{2}x } = 0.5^{sinx}$
2) $sqrt{4-4x+x^2} + sqrt[4]{(x^2-6x+9)^2}$, если $x= sqrt{5}$
3) $sqrt[6]{(1-2x+x^2)^3} + sqrt{x^2-10x+25}$, если $x= sqrt{6}$
4) $sqrt{a-6 sqrt{a-9} } + sqrt{a+6 sqrt{a-9} }$, если a= 9,999

Answer 1

1.
$4^{ sqrt{3} cos^{2}x } = 0.5^{sin x} \ (2^2)^{ sqrt{3} cos^{2}x } =(2^{-1})^{sin x} \ 2^{ 2sqrt{3} cos^{2}x } =2^{-sin x} \ 2sqrt{3} cos^{2}x =-sin x \ 2sqrt{3}(1- sin^{2}x)+sin x=0 \ 2sqrt{3}- 2sqrt{3}sin^{2}x+sin x=0$
$2sqrt{3}sin^{2}x-sin x -2sqrt{3} =0 \ D=(-1)^2-4cdot 2sqrt{3}cdot(- 2sqrt{3})=1+48=49 \ sin x neq frac{1+7}{2cdot 2 sqrt{3} } = frac{8}{4 sqrt{3} } = frac{2}{ sqrt{3} } textgreater 1 \ sin x=frac{1-7}{2cdot 2 sqrt{3} } =- frac{6}{4 sqrt{3} } =- frac{ sqrt{3} }{2 } Rightarrow x=(-1)^{k+1} frac{ pi }{3}+ pi k, kin Z$
Ответ: $(-1)^{k+1} frac{ pi }{3}+ pi k$, где k - целые числа

2.
$sqrt{4-4x+x^2} + sqrt[4]{(x^2-6x+9)^2} = \ = sqrt{(2-x)^2} + sqrt[4]{((x-3)^2)^2} = sqrt{(2-x)^2} + sqrt[4]{(x-3)^4} = \ = |2-x| + |x-3|=|2- sqrt{5} | + | sqrt{5} -3|= \ = -(2- sqrt{5} ) -( sqrt{5} -3)=-2+ sqrt{5} - sqrt{5} +3=1$
Ответ: 1

3.
$sqrt[6]{(1-2x+x^2)^3} + sqrt{x^2-10x+25} = \ = sqrt[6]{((1-x)^2)^3} + sqrt{(x-5)^2} =sqrt[6]{(1-x)^6} + sqrt{(x-5)^2} \ = |1-x|+ |x-5|= |1- sqrt{6} |+ | sqrt{6} -5|= \ =-(1-sqrt{6} )-( sqrt{6} -5)=-1+sqrt{6}- sqrt{6} +5=4$
Ответ: 4

4.
Обозначим искомое выражение за b:
$b= sqrt{a-6 sqrt{a-9} } + sqrt{a+6 sqrt{a-9} } \ b^2= a-6 sqrt{a-9} } +a+6 sqrt{a-9} +2cdot sqrt{a-6 sqrt{a-9} } cdot sqrt{a+6 sqrt{a-9} } \ b^2= 2a+ 2sqrt{(a-6 sqrt{a-9}) (a+6 sqrt{a-9}) } \ b^2= 2a+ 2sqrt{a^2-(6 sqrt{a-9})^2 } \ b^2= 2a+ 2sqrt{a^2-36( a-9) } \ b^2= 2a+ 2sqrt{a^2-36 a+324 } \ b^2= 2a+ 2sqrt{(a-18)^2 } \ b^2= 2a+ 2|a-18|$
При а<18 модуль раскрывается следующим образом:
$b^2= 2a- 2(a-18) \ b^2= 2a- 2a+36 \ b^2=36 \ b=6$
Значение b=-6 не подходит, так как за b мы обозначали сумму двух корней четной степени, то есть сумму двух неотрицательных чисел, которая отрицательной быть не может.
Ответ: 6