Question

помогите пожалуйста построить график и иследовать его

Answer 1

1. Область определения функции
$x^2-4 \neq 0 \\ x \neq \pm2$
$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$
2. Четность функции
$y(-x)= \frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-4}= \frac{x^2+1}{x^2-4} =y(x)$
Функция четная
3. Точки пересечения с осью Ох и Оу
3.1.Точки пересечения с осью Ох (у=0)
$\frac{x^2+1}{x^2-4} =0$
так как правая часть имеет положительное значение, то уравнение не имеет корней
3.2. Точки пересечения с осью Оу (х=0)
$y=-0.25$
(0;-0.25) - точки пересечения с осью Оу
4. Критические точки (возрастание и убывание функции)
$y'=- \frac{10x}{(x^2-4)^2} \\ y'=0 \\ \frac{10x}{(x^2-4)^2} =0 \\ x=0$
x=0 - критические точки.

_-__(-2)_+__(0)__-__(2)___+_>

Итак, функция возрастает на промежутке $x \in (-2;0)\cup(2;+\infty)$, убывает на промежутке $x \in (-\infty;-2)\cup(0;2)$. В точке х=0 функция имеет локальный максимум
5. Точки перегиба нет, так как вторая производная будет $\frac{10(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$ и левая часть принимает положительное значение

Наклонных асимптот нет
Горизонтальных: $\frac{x^2+1}{x^2-4} =1+ \frac{5}{x^2-4} = \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{5}{x^2-4} )=1$
Вертикальные асимптоты х=±2