Question

Помогите пожалуйста не могу решить

Вычислить интегралы:
1) неопределенный интеграл
2) несобственный интеграл

Answer 1

По началу всё кажется запутано, но если разобраться, то всё очень просто!

1) ∫(lnx)²· dx/x → Подводим функцию 1/x под знак дифференциала, по таблицам интегрирования мы знаем, что ∫(1/x)dx = lnx. → получаем ∫(lnx)²·d(lnx)  → далее для интегрирования принимаем тот факт, что мы интегрируем уже не по х, а по lnx, мысленно меняем lnx на x, и получаем простой интеграл ∫x²dx = x³/3. Но главное не забыть поменять всё назад, и получим ответ: (lnx)³/3.

2) В этом интеграле всё очень похоже, мы знаем интеграл ∫eˣdx = eˣ, но у нас в условии не eˣ, a e³ˣ, чтобы проинтегрировать такой интеграл, нам нужно возле дифференицала получить цифру 3, дабы получилось следующее уравнение: ∫e³ˣd(3x), чтобы получить интеграл такого вида нам нужно умножить интеграл на 3 И поделить его на 3, поскольку мы не можем взять тройку из ниоткуда, нам нужно проделать такую операцию, в итоге: 1/3∫e³ˣd(3x) и по предыдущему примеру находим такой интеграл → 1/3e³ˣ. Но не забываем подставить границы. Подставляем вместо х 0 и получаем:

e⁰ = 1  значит весь интеграл равен: 1/3*1

Подставляем -∞:

e^(-∞) = 0 значит весь интеграл равен: 1/3*0 = 0.

Получаем, что наш интеграл ∫e³ˣdx в пределах от -∞ до 0 равен: 1/3 - 0 = 1/3.

Извините, что много букв, пытался объяснить как можно подробней.

Answer 2

$1); ; int (lnx)^2cdot frac{dx}{x}=int (lnx)^2cdot d(lnx)=[, t=lnx,; dt=frac{dx}{x}; ]=int t^2cdot dt=\\=frac{t^3}{3}+C=frac{ln^3x}{3}+C=frac{(lnx)^3}{3}+C\\\2); ; intlimits^0_{-infty }, e^{3x}, dx=limlimits _{A to -infty}, intlimits^0_{A}, e^{3x}, dx=limlimits _{A to -infty}, (frac{1}{3}cdot e^{3x}), Big |_{A}^0=\\=frac{1}{3}cdot limlimits_{A to -infty}, (1-underbrace {e^{3A}}_{to 0})=frac{1}{3}cdot (1-0)=frac{1}{3}; ; ; sxoditsya$