Question

Помогите пожалуйста!!!Найти сумму всех целых значений параметра a, при каждом из которых один корень уравнения (a2+a+1)x2+(2a−3)x+a−5=0 больше 1, а другой меньше 1.

Answer 1

Пусть $x_1,x_2$ - корни уравнения. Графиком функции $f(x)=(a^2+a+1)x^2+(2a-3)x+a-5$ есть парабола, пересекающая ось ОХ в точках $x_1,x_2.$ Поскольку коэффициент перед $x^2$: $a^2+a+1>0$, то интервал $(x_1;x_2)$ есть множество решений $f(x)<0$, значит, если точка x = 1 лежит между корнями, то выполнено неравенство $f(1)<0$

$a^2+a+1+2a-3+a-5<0\\ \\ a^2+4a-7<0\\ \\ (a+2)^2<11\\ \\ |a+2|<\sqrt{11}\\ \\ -\sqrt{11}<a+2<\sqrt{11}\\ \\ \\ \boxed{-2-\sqrt{11}<a<-2+\sqrt{11}}$

Целые значения параметра a: -5;-4;-3-2;-1;0;1. Их сумма: -14

Ответ: $-14.$