Question

Помогите пожалуйста найти общее решение уравнения
y"-2y'+3y=0

Answer 1

Ответ:

общее решение:

$\boxed{ \boldsymbol{ y = e^{- x} \bigg (C_{1} \cos x\sqrt{2} + C_{2}\sin x\sqrt{2} \bigg) } }$

Примечание:

В общем виде уравнения вида:

$y'' + py' +q = 0$

Имеет следующие решение:

Характеристическое уравнение:

$\lambda^{2} + p \lambda + q = 0$

при $D < 0$ корни уравнения имеют вид:

$\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$

Общее решение:

$y = e^{\alpha x} \bigg ( C_{1} \cos \beta x + C_{2} \sin \beta x \bigg)$

Пошаговое объяснение:

$y'' - 2y' + 3y = 0$ - Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Характеристическое уравнение:

$\lambda^{2} + 2\lambda + 3 = 0$

$D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

$\lambda_{1} = \dfrac{-2 + i\sqrt{8} }{2} = \dfrac{-2 + i2\sqrt{2} }{2} = \dfrac{2(-1 + i\sqrt{2} )}{2} = -1 + i\sqrt{2}$

$\lambda_{2} = \dfrac{-2 - i\sqrt{8} }{2} = \dfrac{-2 - i2\sqrt{2} }{2} = \dfrac{2(-1 - i\sqrt{2} )}{2} = -1 - i\sqrt{2}$

$\boldsymbol{ y = e^{- x} \bigg (C_{1} \cos x\sqrt{2} + C_{2}\sin x\sqrt{2} \bigg) }$ - общее решение