Question

Помогите пожалуйста найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов.
у" +25у = 100xsin5x+50cos5x необходимо указать корни характеристического уравнения, вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с неопределенными коэффициентами).

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+25y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2+25=0\ k=pm5i$

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это $y_1=cos 5x,~ y_2=sin5x$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$y^*=y_1+y_2=C_1cos 5x+C_2sin5x$

Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:

$f(x)=e^{0x}(100xsin5x+50cos 5x)~~Rightarrow~~~alpha =0;~~~ beta=5\ P_n(x)=100x~~~Rightarrow~~~ n=1;~~~ Q_n(x)=50~~~Rightarrow~~~ n=0$

Число $k=alpha +ibeta$ принимает значение $k=5i$, это число является корнем характеристическое уравнение $k^2+25=0$. Кратность k=1

Частное решение будем искать в виде:

$y^{**}=x^{k}((Ax+B)sin 5x+(Cx+D)cos 5x)=\ \ =(Ax+B)xsin 5x+(Cx+D)xcos 5x$

Вычислим для нее производную второго порядка

$y'=left(-5Cx^2+left(2A-5Dright)x+Dright)sin 5x+(5Ax^2+(5B+2C)x+D)cos5x\ \ y''=(-25Ax^2-(25B+20C)x-10D+2A)sin 5x+(-25Cx^2+\ \ +(20A-25D)x+10B+2C)cos 5x$

Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:

$(-20Cx-10D+2A)sin 5x+(20Ax+10B+2C)cos 5x=100xsin 5x+50cos5x$

Приравниваем коэффициент при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:

$begin{cases}&text{}2A-10D=0\&text{}10B+2C=50\&text{}-20C=100\&text{}20A=0end{cases}~~~~Longrightarrow~~~begin{cases}&text{}D=0\&text{}B=6\&text{}C=-5\&text{}A=0end{cases}$

Частное решение: $y^{**}=6xsin 5x-5x^2cos 5x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+y^{**}=C_1cos 5x+C_2sin5x+6xsin 5x-5x^2cos 5x$

Answer 2

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+25y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2+25=0\ k=pm5i$

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это $y_1=cos 5x,~ y_2=sin5x$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$y^*=y_1+y_2=C_1cos 5x+C_2sin5x$

Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:

$f(x)=e^{0x}(100xsin5x+50cos 5x)~~Rightarrow~~~alpha =0;~~~ beta=5\ P_n(x)=100x~~~Rightarrow~~~ n=1;~~~ Q_n(x)=50~~~Rightarrow~~~ n=0$

Число $k=alpha +ibeta$ принимает значение $k=5i$, это число является корнем характеристическое уравнение $k^2+25=0$. Кратность k=1

Частное решение будем искать в виде:

$y^{**}=x^{k}((Ax+B)sin 5x+(Cx+D)cos 5x)=\ \ =(Ax+B)xsin 5x+(Cx+D)xcos 5x$

Вычислим для нее производную второго порядка

$y'=left(-5Cx^2+left(2A-5Dright)x+Dright)sin 5x+(5Ax^2+(5B+2C)x+D)cos5x\ \ y''=(-25Ax^2-(25B+20C)x-10D+2A)sin 5x+(-25Cx^2+\ \ +(20A-25D)x+10B+2C)cos 5x$

Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:

$(-20Cx-10D+2A)sin 5x+(20Ax+10B+2C)cos 5x=100xsin 5x+50cos5x$

Приравниваем коэффициенты при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:

$begin{cases}&text{}2A-10D=0\&text{}10B+2C=50\&text{}-20C=100\&text{}20A=0end{cases}~~~~Longrightarrow~~~begin{cases}&text{}D=0\&text{}B=6\&text{}C=-5\&text{}A=0end{cases}$

Частное решение: $y^{**}=6xsin 5x-5x^2cos 5x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+y^{**}=C_1cos 5x+C_2sin5x+6xsin 5x-5x^2cos 5x$