Question

помогите, пожалуйста, максимально подробно нужно

Answer 1

$sfdisplaystyle intlimits {frac{dx}{sin^2x-5sin xcos x}} ,$

1. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

$sf displaystyle t=tg; x ;;;;; sin^2 x=frac{t^2}{1+t^2} ;;;;; cos^2 x=frac{1}{1+t^2} ;;;;; dx=frac{dt}{1+t^2}$

$displaystyle sf intlimits {frac{1}{frac{t^2}{1+t^2}-5frac{t}{sqrt{1+t^2}}cdotfrac{1}{sqrt{1+t^2}}}cdot frac{dt}{1+t^2}} , =intlimits {frac{1}{frac{t^2}{1+t^2}-frac{5t}{1+t^2}}cdot frac{dt}{1+t^2}} ,=intlimits {frac{dt}{t^2-5t}} ,$

2. Преобразовав интеграл, воспользуемся методом неопределённых коэффициентов:

$displaystylesf Big[frac{A}{t}+frac{B}{t-5}=frac{A(t-5)+Bt}{t(t-5)}=frac{At-5A+Bt}{t(t-5)}=frac{t(A+B)-5A}{t(t-5)}Big ]$

3. Перейдём в систему уравнений:

$displaystylesf left { {{A+B=0} atop {-5A=1}} right. left { {{B=frac{1}{5}} atop {A=-frac{1}{5}}} right.$

Сумма A+B = 0, потому что окончательном варианте шага 1, мы не имеем в числителе слагаемых содержащих переменную t, но есть "невидимая" 1, на которую умножается dt.

4. Подставим в нач данные уже найденные коэффициенты в шаг 2:

$displaystyle sf intlimits {Big (frac{-frac{1}{5}}{t}}+frac{frac{1}{5}}{t-5}Big) , dt$

4.1. Разбиваем неопределённый интеграл на 2 части, при этом вынося коэффициент, стоящий в числителе:

$displaystyle sf -frac{1}{5}intlimits {frac{dt}{t}} ,+frac{1}{5}intlimits{frac{dt}{t-5}} , =-frac{1}{5}ln |t|+frac{1}{5}ln |t-5|+C$

5. Выполняю обратную подстановку:

$displaystyle sf frac{1}{5}ln| tg; x-5|-frac{1}{5}ln |tg ;x|+C$