Question

Помогите пожалуйста. Как такое решать

Answer 1

Думаю, что эту систему можно решить каким-то простым способом. Но мне в голову ничего путного не пришло. Поэтому пока "кушайте" мое безумное решение. Из верхних уравнений следует, что x, y и z одного знака. Найдем сначала положительное решение.  Из нижнего уравнения $y=\dfrac{1-xz}{x+z},$ поэтому $3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=4\left(\dfrac{1-xz}{x+z}+\dfrac{x+z}{1-xz}\right);\ 3\dfrac{x^2+1}{x}=4\dfrac{(x^2+1)(z^2+1)}{(x+z)(1-xz)};$

$3(x+z)(1-xz)=4x(z^2+1);\ x(7z^2+1)=3z(1-x^2);$

при этом вспомним. что 5x(z²+1)=3z(x²+1); деля одно на другое, получаем

$\dfrac{7z^2+1}{5(z^2+1)}=\dfrac{1-x^2}{1+x^2};$   $x^2=\dfrac{2-z^2}{6z^2+3};$

Из верхних уравнений (возводя в квадрат) получаем

$9x^2+\dfrac{9}{x^2}=25z^2+\dfrac{25}{z^2}+32;$ остается подставить сюда вместо икс в квадрате его  выражение через зет в квадрате, и мы получаем уравнение четвертой степени относительно t=z²:

$t^4+2t^3-2t-1=0.$ Угадываем t=1, раскладываем  (t-1)(t³+3t^2+3t+1)=0,

вторая скобка положительна в силу положительности t (хотя никто не может нам помешать заметить боковым зрением, что эта скобка есть   (t+1)³). Итак, $t=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.$  На всякий случай делаем проверку подстановкой найденных значений в систему.

Ответ: $\left(\dfrac{1}{3};\ \dfrac{1}{2};\ 1\right);\ \left(-\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{1}{2};\ -1\right)$