Question

Помогите пожалуйста. если можно с объяснением.
вычислите:
5 arccos 12 + 3 arcsin (-корень из 22)
sin ( 4 arccos ( - 12) - 2 arcctg корень из 33)
решите уравнение:
6 sin^2x + 5cosx-7=0
2sin^2x + sinx cosx - 3 cos^2x=0

Answer 1

5 arccos 12 + 3 arcsin (-корень из 22)
Оба значения табличные для   cos   и   sin
$5 arccos frac{1}{2} + 3 arcsin (- frac{ sqrt{2} }{2}) = \ 5 * frac{ pi }{3} +3*(- frac{ pi }{4} ) = \ frac{5 pi }{3} - frac{3 pi }{4} = frac{11 pi }{12}$


sin ( 4 arccos ( - 12) - 2 arcctg корень из 33)
Оба значения табличные для   cos   и   ctg
$sin [ 4 arccos ( - frac{1}{2}) - 2 arcctg frac{ sqrt{3} }{3} ] = \ sin [4* frac{2 pi }{3} - 2* frac{ pi }{3} ] = \ sin[ frac{8 pi }{3} - frac{2 pi }{3} ] = sin(2 pi ) = 0$


6 sin^2x + 5cosx-7=0
Сначала использовать основное тригонометрическое тождество
$6 sin^2x + 5cosx-7=0 \ 6 sin^2x + 5cosx-6 - 1 =0 \ 6 sin^2x + 5cosx-6( sin^{2}x + cos^{2}x) - 1 =0 \ 6 sin^2x + 5cosx-6 sin^{2}x - 6cos^{2}x - 1 =0 \ 5cosx - 6cos^{2}x - 1 =0$
Это обыкновенное квадратное уравнение, в котором переменной является      cos x
$- 6cos^{2}x +5cosx - 1 =0 \ D = 25 - 4*(-6)*(-1) = 25 - 24 = 1 \ cos x_{1} = frac{-5-1}{-12} = frac{1}{2} \ cos x_{2} = frac{-5+1}{-12} = frac{1}{3} \ x_{1} = frac{+}{} frac{ pi }{3} + 2 pi n \ x_{2} = frac{+}{} arccos frac{1}{3} +2 pi m$,   n,m∈Z


2sin^2x + sinx cosx - 3 cos^2x=0
Проверить, что $cos^{2} x$ не является корнем ( на ноль делить нельзя), а потом все уравнение почленно разделить на  $cos^{2} x$
$cos^{2} x = 0$
$x = frac{ pi }{2} + pi n \ 2sin^2x + sinx cosx - 3 cos^2x=0 \ 2sin^2 frac{ pi }{2} + sin frac{ pi }{2} cos frac{ pi }{2} - 3 cos^2 frac{ pi }{2}=0 \ 1+0-0 neq 0$
Не корень, можно делить
$2sin^2x + sinx cosx - 3 cos^2x=0 \ frac{2 sin^{2}x }{ cos^{2} x} + frac{sinx cosx}{cos^{2} x} - frac{3cos^{2} x}{cos^{2} x} =0 \ 2 tg^{2}x +tgx-3 = 0$
Обыкновенное квадратное уравнение с переменной   tg x
$2 tg^{2}x +tgx-3 = 0 \ D = 1 - 4*2*(-3) = 25 \ tg x_{1} = frac{-1-5}{4} = -frac{3}{2} \ tg x_{2} = frac{-1+5}{4} = 1 \ x_{1} =arctg( -frac{3}{2} ) + pi n \ x_{2} =frac{ pi }{4} + pi m$
n,m ∈ Z