Question

помогите пожалуйста

​

Answer 1

Ответ:

$1)\:\:\:x \in \left( - \frac{7\pi}{10}{ + \: }\pi{n}; \: \frac{\pi}{20} {+ \: } \pi{n} \right) ; \: \: n \in Z$

$2) \: \: \: \: x \in \left(\frac{\pi{n}}{3}; \: \: \frac{ \pi}{12} { + } \frac{\pi{n}}{3}\right);\: n \in Z$

Объяснение:

1.

Воспользуемся формулой:

$\text{tg} \: ( \alpha + \beta) = \frac{ \text{tg} \: \alpha + \text{tg} \: \beta}{1 - \text{tg} \: \alpha \cdot \text{tg} \: \beta}$

$\frac{ \text{tg} \: \frac {\pi}{5}+ \text{tg} \: x}{1 -\text{tg} \: \frac {\pi}{5} \cdot \text{tg} \: x} < 1 \\ \text{tg} \bigg( \frac{\pi}{5} + x \bigg) < 1$

Решим уравнение

$\text{tg} \bigg( \frac{\pi}{5} + x \bigg) = 1 \\ \frac{ \pi}{5} + x = \text{arctg }1 + \pi{n}; \: n \in Z \\\frac{ \pi}{5} + x = \frac{\pi}{4} + \pi{n}; \: n \in Z$

С учетом того, что функция тангенса

• периодична, с периодом 1 "Пи",

• в рамках периода определена и монотонно возрастает на $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

получаем:

$x =\frac{ \pi}{4} - \frac{ \pi}{5} + \pi{n}; \: n \in Z \\ x =\frac{ \pi}{20} + \pi{n}; \: n \in Z\\ \\ \small\text{tg} \bigg( \frac{\pi}{5} { + }x \bigg) < 1 \: \: < = > \: \:\frac{\pi}{5} { + \: }x \in\left( - \frac{\pi}{2}{ + }\pi{n}; \: \frac{\pi}{4} {+ } \pi{n} \right) \\ - \frac{ \pi}{2} + \pi{n} < x + \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} +\pi{n}; \: \: n \in Z \\ - \frac{ \pi}{2} - \frac{\pi}{5} + \pi{n} < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{5}+\pi{n}; \: \: n \in Z \\ - \frac{7 \pi}{10} + \pi{n} \: < \: x \: < \: \frac{\pi}{20} +\pi{n}; \: \: n \in Z \\ \\ x \in \left(- \frac{7 \pi}{10} + \pi{n}; \: \frac{\pi}{20} {+ \: } \pi{n} \right) ; \: \: n \in Z$

Это и будет ответ.

2.

Воспользуемся формулой:

$\text{tg} \: ( \alpha - \beta) = \frac{ \text{tg} \: \alpha - \text{tg} \: \beta}{1 + \text{tg} \: \alpha \cdot \text{tg} \: \beta}$

В выражении

$\frac{\text{tg} \: 3x - 1}{ \text{tg} \: 3x + 1} > 1$

преобразуем левую часть

$\frac{\text{tg} \: 3x - 1}{ \text{tg} \: 3x + 1} = \frac{\text{tg} \: 3x - 1}{ 1 + 1 \cdot\text{tg} \: 3x } = \\ = \frac{\text{tg} \: 3x - \text{tg} \frac{\pi}{4} }{ 1 +\text{tg} \frac{\pi}{4} \cdot\text{tg} \: 3x } =\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + 3x\right)$

А следовательно, неравенство принимает вид:

$\frac{\text{tg} \: 3x - 1}{ \text{tg} \: 3x + 1} > 1 \: \: \: < = > \: \: \: \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + 3x\right) > 1$

Решим уравнение:

$\text{tg} \bigg( 3x + \frac{\pi}{4} \bigg) = 1 \\ 3x + \frac { \pi}{4}= \text{arctg }1 + \pi{n}; \: n \in Z \\3x + \frac{ \pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi{n}; \: n \in Z$

С учетом того, что функция тангенса

• периодична, с периодом 1 "Пи",

• в рамках периода определена и монотонно возрастает на $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

получаем:

$\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + 3x\right) > 1 \\ \frac{ \pi}{4} { + \: } \pi{n} < \: 3 x + \frac{\pi}{4} \: < \: \frac{ \pi}{2} { + \: } \pi{n} \\ \frac{ \pi}{4}-\frac{ \pi}{4} { + \: } \pi{n} < \: 3 x \: < \: \frac{ \pi}{2}-\frac{ \pi}{4} + \pi{n} \\ \pi{n} \: < \: 3 x \: < \: \frac{ \pi}{4} { + \: } \pi{n}\\ \frac{\pi{n}}{3} \: < \: x \: < \: \frac{ \pi}{12} { + \: } \frac{\pi{n}}{3} \\ \\x \in \left(\frac{\pi{n}}{3}; \: \: \frac{ \pi}{12} { + } \frac{\pi{n}}{3}\right);\: n \in Z$