Question

Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

λ = -1, v=(-5;3)

λ=7, v=(1;1)

Объяснение:

Собственным вектором v и собственным значением λ для матрицы M называются значения, удовлетворяющие соотношению:

Mv = λv.

Если перенести λv в левую часть, получится:

Mv-λv=0

(M-λE)v=0, где E - единичная матрица.

Поскольку v должно быть нетривиальным, то определитель матрицы M-λE должен быть равен 0. Составим его.

$\begin{vmatrix}2-\lambda & 5\\ 3&4-\lambda \end{vmatrix}=0$

Отсюда получим характеристическое уравнение: (2-λ)(4-λ)-3*5=0.

λ²-6λ-7=0

λ = -1 или λ=7

Подставим каждое из полученных λ в матрицу для нахождения v.

1) λ = -1

$M=\begin{vmatrix}2-(-1) & 5\\ 3&4-(-1) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 5\\ 3&5 \end{vmatrix}\\Mv=\begin{vmatrix}3 & 5\\ 3&5 \end{vmatrix}*\begin{vmatrix}v_1\\ v_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3v_1+5v_2\\ 3v_1+5v_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0\\ 0 \end{vmatrix}$,

где $v=(v_1;v_2)$

Поскольку имеется два уравнения, которые линейно зависимы, то можно выбрать одно из них. Отсюда

$3v_1+5v_2=0,\\v=(-5;3)$

2) λ=7

$M=\begin{vmatrix}2-7 & 5\\ 3&4-7 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-5 & 5\\ 3&-3 \end{vmatrix}\\Mv=\begin{vmatrix}-5 & 5\\ 3&-3 \end{vmatrix}*\begin{vmatrix}v_1\\ v_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-5v_1+5v_2\\ 3v_1-3v_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0\\ 0 \end{vmatrix}$

Отсюда

$-5v_1+5v_2=0,\\v=(1; 1)$