Question

Помогите пожалуйста

Answer 1

Будем последовательно умножать дроби на выражения, сопряжённые знаменателю:

$\dfrac{1}{\sqrt 2+1}=\dfrac{\sqrt 2-1}{(\sqrt 2 +1)(\sqrt 2 -1)}=\dfrac{\sqrt 2-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

(В знаменателе мы использовали формулу разности квадратов).

Теперь рассмотрим вторую дробь.

$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt 3)^2-(\sqrt 2)^2}=\dfrac{\sqrt 3-\sqrt 2}{3-2}=\sqrt 3 - \sqrt 2$

И так далее. Применяя этот метод ко всем дробям, получим последовательность:

$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...\\...+\sqrt{2019}-\sqrt{2018}+\sqrt{2020}-\sqrt{2019}$

Можно видеть, в такой последовательности корней они будут самоуничтожаться.. Тогда в ответе получим числа, к которым нет пары: $-1$ и $\sqrt{2020}$

Ответ: $\sqrt{2020}-1$

Кажется, нигде не ошибся.

Кстати, такие ряды называются телескопическими. Можете почитать о них, например, в Вики — интересная тема.