Question

Помогите пожалуйста!

Answer 1

$dfrac{cos x-2}{cos frac{x}{2} } =1$
ОДЗ: $cosfrac{x}{2}ne 0$
Умножим обе части уравнения на cos (x/2)
$cos x-2=cos frac{x}{2}\ 2cos^2frac{x}{2}-1-2=cosfrac{x}{2}\ 2cos^2frac{x}{2}-cosfrac{x}{2}-3=0$
Сделаем замену. Пусть $cos frac{x}{2}=t$, тогда получаем:
$2t^2-t-3=0\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4cdot 2cdot(-3)=25$
$t_1=-1$
$t_2=1.5$ не удовлетворяет условию, так как косинус принимает значение [-1;1]
Обратная замена:
$cosfrac{x}{2}=-1\ frac{x}{2}= pi +2 pi n,n in mathbb{Z}|cdot 2\ x=2 pi +4 pi n,n in mathbb{Z}$

Окончательный ответ: $x=2 pi +4 pi n,n in mathbb{Z}$

$|sin x|=|cos x|$
Левая и правая части уравнения имеют положительные значения, то мы имеем право возвести обе части уравнения в квадрат
$sin^2x=cos^2x|:cos^2x\ tg^2x=1\ tgx=pm 1\ x_{1,2}=pm dfrac{pi}{4}+pi n,n in mathbb{Z}$

Окончательный ответ: $pm dfrac{pi}{4}+pi n,n in mathbb{Z}$

$2cos^2 frac{ alpha }{2} -cos alpha =underbrace{2cos^2frac{ alpha }{2} -1}_{cos(2cdot frac{ alpha }{2} )}+1-cos alpha =cos alpha +1-cos alpha =1$

Окончательный ответ: 1.

$ctg beta -sin2 beta = frac{cos beta }{sin beta} -2sin betacos beta= dfrac{cos beta-2sin^2 betacos beta}{sin beta} =\\\ = dfrac{cos beta(overbrace{1-2sin^2 beta}^{cos2 beta})}{sin beta} =ctg betacdot cos2 beta$
Что и требовалось доказать